Литература ЭПУ / Розанов Ю.К. Электрические и электронные аппараты / Розанов Ю.К. Электрические и электронные аппараты / glava_1

ãäå Jó – установившееся значение плотности тока короткого замыкания.

Таким образом, фиктивное время короткого замыкания – это время, в течение которого установившийся ток короткого замыкания оказывает такое же термическое воздействие на токоведущие части, как действительный ток короткого замыкания за действительное время короткого замыкания.

Следует отметить, что фиктивное время короткого замыкания может быть больше и меньше действительного времени короткого замыкания. Обычно фиктивное время короткого замыкания определяют по кривым tô = tô(b¢¢), имеющимся в справочной литературе [2, 4].

Здесь

ãäå iï – пиковое значение тока короткого замыкания; Iä – действующее значение установившегося тока короткого замыкания.

Введя понятие фиктивное время короткого замыкания”, можно”легко вычислить квадратичный импульс плотности тока и для расчета воспользоваться кривыми адиабатного нагрева.

Поскольку термическая стойкость характеризуется током термической стойкости, то зная время короткого замыкания и материал проводника, а также его допустимую температуру кратковре-

менного нагрева, можно по кривым адиабатного нагрева определить плотность тока термической стойкости аппарата. После этого можно решать две задачи, а именно: по известному поперечному се- чению проводника определить ток термической стойкости или по заданному току термической стойкости найти необходимое поперечное сечение токоведущих частей.

Расчетные времена коротких замыканий стандартизированы и приняты равными 10; 5 и 1 с. В соответствии с этими временами и токи терми- ческой стойкости носят название 10-ти секундный, 5-ти секундный и 1–секундный ток термической стойкости соответственно.

Так как времена короткого замыкания и плотности токов взаимосвязаны

J 21t1 = J 22t2 ,

легко можно получить формулу пересчета токов термической стойкости

I 21 = 5I 25 = 10I 210 .

Наконец, следует отметить, что можно при помощи кривых адиабатного нагрева решать и обратную задачу, а именно: зная требуемый ток терми- ческой стойкости и поперечное сечение проводника, проверить, удовлетворяет ли проводник этой термической стойкости с точки зрения допустимой температуры кратковременного нагрева.

Для выяснения сущности явления электрического контакта рассмотрим механический контакт двух металлических твердых тел. При любой, сколь угодно чистой обработке два металлических тела соприкасаются не по всей видимой поверхности, а лишь в отдельных точках по микровыступам (рис.1.10,à). Обычно для обеспечения надежного протекания электрического тока контакты сжимают силой, которая называется силой контактного нажатия. Эта сила может создаваться при затяжке болтов, при обжатии контактного наконечника на конце провода или кабеля или из-за деформации пружин контактной системы. При этом микровыступы, по которым произошел начальный контакт, деформируются; в соприкосновение могут прийти другие выступы и они также могут деформироваться. На поверхности образуются площадки, которые и воспринимают усилие контактного нажатия. Давление в разных точках поверхности контактных площадок в общем случае не одинаково и может вызывать как упругие, так и пластические деформации.

Таким образом, механический контакт двух тел происходит не по всей видимой поверхности, а лишь в отдельных точках; при сжатии их силой – по отдельным площадкам.

Представим рассмотренные выше поверхности тел, которые находились в соприкосновении (рис.1.10,á).

Общая поверхность тел, с которой производится контакт, называется кажущейся контактной поверхностью. На этой поверхности можно увидеть площадки, полученные в результате деформации микровыступов, которые воспринимают усилие [8]. Эта часть контактной поверхности называется поверхностью, воспринимающей усилие.

Очевидно, что электрический ток может проходить только в точках контактной поверхности, в которых имеет место механический контакт, т. е. через точки поверхности, воспринимающие

Рис 1.10. Контакт твердых тел:

à – профилограмма контактирования; á – контактная поверхность

усилие. Однако условие механического контакта является необходимым, но недостаточным.

При ближайшем рассмотрении поверхности, воспринимающей усилие, можно видеть, что она весьма неоднородна, а именно: в общем случае одна часть ее покрыта пленками оксидов, другая – адгезионными или хемосорбированными слоями атомов кислорода и, наконец, третья часть представляет собой чисто металлическую поверхность.

Для прохождения электрического тока поверхность, покрытая оксидными пленками, обладает большим электрическим сопротивлением, поскольку удельное сопротивление оксидов на несколько порядков выше удельного сопротивления чистых металлов. Например, для меди удельное электрическое сопротивление при 0 °C составляет 1,62.10-8 Îì.м, для оксида меди (CuO ) – 1÷10 Îì.м, для закиси меди (Cu2O ) – 106÷107 Îì.ì.

Через поверхность, покрытую адгезионными и хемосорбированными слоями кислорода, электрический ток может протекать за счет туннельного эффекта. Этот участок поверхности имеет квазиметаллический характер проводимости.

И наконец, третья часть поверхности проводит свободно электрический ток благодаря чисто металлической проводимости.

Квазиметаллические и металлические поверхности контакта принято называть α-пятнами [8]. Это именно те части контактной поверхности, через которые в электрических контактах протекает ток.

В электрических контактах ток проходит только через небольшую часть кажущейся контактной поверхности, и, следовательно, он должен испытывать сопротивление при прохождении через зону контакта.

Paccмотрим однородный линейный проводник постоянного поперечного сечения (рис.1.11,à), по которому протекает постоянный ток I. Между точ- ками à è á , находящимися на расстоянии l, измерим разность потенциалов U1. Тогда активное сопротивление участка проводника R1 = U1/I.

Разрежем проводник в средней части l и затем снова соединим его, сжав силой P (ðèñ. 1.11,á). При протекании того же тока I получим разность потенциалов между точками à è á, U2, отличную от разности потенциалов U1. В этом опыте сопротивление R2 = U2/I.

Разность сопротивлений Rê = R1 – R2 называется

переходным сопротивлением контакта.

Из рассмотренного выше можно предположить, что увеличение сопротивления Rê произошло из-за наличия оксидных пленок на поверхности контакта

Математическая модель электрических контактов, предложенная в начале века Р. Хольмом и используемая по настоящее время, основана на следующих допущениях:

контактные элементы однородны, выполнены из одного материала и полубесконечны;

удельное сопротивление материала контактов не зависит от температуры и протекающего тока;

контактная поверхность (a-пятно) представляет собой круглую плоскую площадку, совершенно чистую, без посторонних слоев и пленок, причем радиус площадки à значительно меньше радиуса кажущейся контактной поверхности;

линии тока расположены на гиперболоидах вращения, а эквипотенциальные поверхности представляют собой элипсоиды вращения.

Для вычисления сопротивления стягивания воспользуемся аналогией полей токов в контакте и электростатического поля заряженного диска.

Установим сначала связь между значением электрического сопротивления в изотропном однородном проводнике и значением емкости поля плоского конденсатора.

На расстоянии d в проводнике тока выделим две параллельные площадки DS (ðèñ. 1.13,à). Электри- ческое сопротивление параллелепипеда определяется как

R = rd ¤ DS .

В электрическом поле емкость плоского конденсатора

C = εr ε0 DS ¤ d ,

ãäå εr – относительная диэлектрическая проницаемость среды; ε0 = 10-9/36p – электрическая постоянная.

Тогда

Выражение (1.41) является общим и часто используется для вычисления, входящих в него вели- чин, например, сопротивления стягивания рассматриваемой модели контакта.

Половина электростатического поля отдельно взятого заряженного диска радиуса à аналогична половине поля токов модели контакта (рис. 1.13,á): в нашем случае аналогичны нижние половины полей.

Как известно [8], емкость диска

C = 8εr ε0a .

Емкость половины диска

C1 ¤ 2 = 4εε0a .

Рис 1.13. К расчету сопротивления стягивания: à – плоскопараллельное поле; á – поле заряженного диска

Тогда, используя последнее выражение и общее cooтношение (1.41), получаем

Rc,1 ¤ 2 C1 ¤ 2 = Rc,1 ¤ 2 4εε0a = rεε0 ,

откуда

Rc,1 ¤ 2 = 4ra .

Следовательно, общее электрическое сопротивление стягивания контакта будет равно удвоенному значению, т. е.

c 2a

Последняя формула называется формулой Хольма. При упругих деформациях радиус круглой пло-

щадки определяется из выражения [8]

ãäå P – усилие сжатия тел; E – модуль упругости материала контактов; r – радиус кривизны сфери- ческой поверхности контактa детали; m = 1.11 при соприкосновении шарообразной и плоской поверх-

ностей; m = 0,9 при соприкосновении двух шарообразных поверхностей.

Если деформации пластические, то

ãäå sñì – временное сопротивление смятия материала контактов.

Для определения сопротивления контактов используют эмпирическую формулу

ãäå n – показатель степени, n = 0,3¸0,8; K0 – коэффициент, зависящий от материала, из которого изготовлены контакты.

Taблица 1.3. Значения коэффициента K0

Наличие переходного сопротивления контактов неизбежно приводит к тому, что в зоне контакта выделяется теплота. Всякий электрический контакт является дополнительным источником теплоты. В контактном соединении можно выделить зону стягивания, т. е. ту часть проводников, прилегающих к поверхности контакта, в которой сосредото- чено сопротивление стягивания. Разумеется, сопротивление, обусловленное наличием посторонних пленок, также сосредоточено в этой зоне, непосредственно между поверхностями контакта. Для цилиндрических проводников с контактным a-пятном, расположенным на их оси, зона стягивания практически ограничена плоскостями, отстоящими примерно на расстоянии 3/4 диаметра от плоскости контакта [1]. Ввиду того, что наружная поверхность зоны стягивания невелика, в первом приближении можно пренебречь количеством теплоты, отдаваемой в окружающую среду непосредственно этой поверхностью, и считать, что теплота, генерируемая в этой зоне, распространяется в части проводника, прилегающей к этой зоне, а далее с поверхности проводников – в окружающую среду. На рис. 1.14 изображены тепловые потоки в симметричном контакте. Мощность потерь, обусловленная сопротивлением контакта Rê создает два тепловых потока. Из за симметрии системы эти

потоки одинаковы и каждый из них определяется как

P = I 2Rê ¤ 2.

Тепловой поток, выходящий через наружную поверхность проводников, обозначен на рисунке

P0.

Для описанной идеализированной картины контакта можно рассчитать распределение температуры в проводнике вне зоны стягивания.

Дифференциальное уравнение, описывающее распределение превышения температуры q поверхности проводников, имеет вид [8]

2

d Q2 – p2Q + qV ¤ l = 0 , (1.46)

dx

где l – теплопроводность материала проводника; p = `````ÖkòÏ ¤ lS ; S – площадь поперечного сечения

проводника; Ï – периметр поперечного сечения проводника; kò – коэффициент теплоотдачи с поверхности проводника; qV = J 2r; J – плотность тока в проводнике; r – удельное электрическое сопротивление проводника; qV – объемная плотность источников теплоты.

При удалении от контакта, когда x ® ¥, превышение температуры проводника Qï = I 2r ¤ (SkòÏ )

Рис. 1.14. К расчету влияния сопротивления контактов на нагрев проводников

определяется из уравнения Ньютона-Рихмана. Распределение превышения температуры может быть определено как

влиянием одного контакта на другой можно пренебречь. В реальных сильноточных аппаратах при диаметре медного проводника d > 2,5 мм при расстояниях до 1 м влиянием контактов друг на друга пренебрегать нельзя. В этом случае приходится использовать метод суперпозиции, подробное описание которого можно найти в [1, 9].

Теоретическая оценка температуры площадки касания может быть дана для идеализированной модели контакта на основании теоремы, доказанной Кольраушем и Диссельхорстом в 1900 г. [8]:

в симметричной области стягивания все эквипотенциальные поверхности являются изотермическими. Рассмотрим трубку тока в зоне стягивания и некоторый элемент этой трубки, заключенный между двумя эквипотенциальными поверхностями.

Пусть одна из этих поверхностей имеет потенциал j. Тепловой поток, проходящий через элементарный участок dS этой поверхности, есть вся мощность, выделяемая в трубке в пределах от площадки касания с потенциалом ja до эквипотенциали j, т.е. по закону Джоуля-Ленца

Плотность тока J площадки dS определяется из закона Ома

ãäå n – вектор нормали к поверхности dS; r – удельное электрическое сопротивление материала контактов.

Вместе с тем, по закону Био-Фурье для той же площадки тепловой поток dP может быть выражен через градиент температуры и теплопроводность l:

где u – температура площадки dS.

Подставив (1.50) в (1.49) и сравнив с (1.51), получим

Потенциал площадки касания может быть выбран произвольно. При ja = 0 получим дифференциальное уравнение Хольма-Кольрауша

Решение этого уравнения с разделенными переменными можно записать, интегрируя правую и левую части в соответствующих пределах. Если падение напряжения на контакте Uê, то потенциал эквипотенциали, принимаемой за границу области стягивания, отличается от потенциала площадки касания на Uê/2. Температура указанной эквипотенциали – uê, из (1.53) определяется как:

ãäå ua – температура контактной площадки. После интегрирования левой части уравнения

получим

υê

Интегрирование правой части затрудняется тем, что удельное сопротивление материала r и его теплопроводность l зависят от температуры. Но для приближенных оценок можно, воспользовавшись теоремой о среднем интегрального исчисления записать

откуда следует, что превышение температуры площадки контакта над температурой границы зоны

стягивания qaê = ua – uê пропорционально квадрату падения напряжения на контакте.

Из решения (1.56) следует, что для каждого данного материала существуют определенные, характерные для него падения напряжения на контактах, при которых температура контактного пятна достигает значений, характеризующих фазовое состояние материала. Так, температуре рекристаллизации соответствует напряжение рекристализации, которое называют еще напряжением размяг- чения, поскольку при рекристаллизации наступает размягчение металла. Температуре плавления материала соответствует напряжение плавления, а температуре кипения – напряжение кипения. Для некоторых металлов значения этих напряжений приведены в табл.1.4.

Таблица 1.4. Значения напряжений размягчения, плавления и кипения

Приведенные выше теоретические зависимости

и получаемые на их основе значения Up, Uïëàâ è Uêèï могут быть подтверждены экспериментально, что

впервые было сделано Р. Хольмом при исследовании зависимости сопротивления контактов от падения напряжения на них.

Основанием для такого эксперимента служат следующие соображения. Сопротивление стягивания контакта зависит от радиуса a-пятна a и удельного сопротивления r, радиус a-пятна – от силы сжатия и упругих свойств материала, а удельное

Рис. 1.15. Зависимость сопротивления контактов от падения напряжения на них

сопротивление от температуры контактов. На интервале температуры, в котором упругие свойства слабо изменяются, сопротивление контакта из данного материала при заданной силе сжатия зависит только от температуры. Приближенно эта зависимость описывается выражением [8]

Rê(υa) » Rê(uê) [1 + 23 a (ua – uê)] . (1.57)

Поскольку υa – υê зависит от падения напряжения, то очевидно, сопротивление Rê является функцией падения напряжения Uê. Причем эта функция монотонно возрастает. При достижении значения напряжения размягчения Uð упругие свойства металла в области a-пятна резко изменяются (металл размягчается), и под воздействием не изменившейся силы сжатия площадь a-пятна увеличивается, а сопротивление Rê резко уменьшается.

Следующее уменьшение сопротивления контактов происходит при достижении напряжения плавления. Характер получаемых кривых иллюстрируется рис. 1.15.

Напряжение размягчения учитывается для нормирования контактов малой мощности. Для них обычно принимают, что допустимое падение напряжения не должно превосходить (0,5¸0,8) Uð .

Использование контактов при условии, что напряжение Uê не превзойдет напряжения Up возможно лишь в слаботочных аппаратах. В сильноточных аппаратах, предназначенных для работы в режимах короткого замыкания, ток может возрастать в десятки раз, условие Uê < Up или условие Uê < Uïëàâ привело бы к необходимости создания чрезмерно больших усилий сжатия контактов. Поэтому в сильноточных аппаратах не исключено расплавление α-пятна в замкнутом состоянии контактов, что, естественно, может привести к свариванию контактов так, как это происходит при точечной электросварке.

Ток, при котором в установившемся режиме нагрева происходит оплавление площадки касания контактов, называется минимальным током плавления (Iïëàâ∞).

Из (1.56) и выражения для сопротивления стягивания с учетом закона Ома легко получить

Iïëàâ∞ = aïëàâ`````````````Ö32(l ¤ r) (ua – uê) . (1.58)

При этом значения r и l соответствуют температуре плавления, а радиус контактной площадки a (с учетом размягчения, предшествующего плавле-

нию) выбирается в 1,5 раза больше радиуса, рассчи- танного при температуре υê.

При больших значениях тока в расчетах можно использовать (1.44). Тогда из (1.58) следует, что ток сваривания Iñâ может определяться как

ãäå P – сила сжатия контактов; k – эмпирический коэффициент.

Для медных и латунных контактов проф. Г.B. Буткевичем экспериментально получено, что k изменяется в пределах от 1000 до 2000 А/H1/2 [1].

Значения, определенные из (1.59), соответствуют настолько прочному свариванию, что для разрыва образовавшейся при этом связи между контактами необходимо усилие, которое может достигать сотен и тысяч ньютонов. В действительности сваривание контактов наступает при меньших токах, при которых появляются микроплощадки схватывания. Схватывание может проявляться и без оплавления при размягчении и сдавливании контактов по типу холодной сварки. Однако в аппаратах высокого напряжения обычно не учитывают это явление, потому что привод рассчитывается так, что он в состоянии разорвать контакты при некотором небольшом схватывании.

Безусловно, следует иметь в виду, что сваривание контактов существенно зависит от их конструкции, так как последняя во многом определяет электродинамические силы, действующие на контакты.

В контактных системах можно рассматривать два типа электродинамических сил. Первые возникают в любых контактных системах и обусловлены самой природой контактных явлений, т. е. стягиванием линий тока к контактной площадке. Эти силы Pä, впервые обнаруженные Двайтом, носят его имя. Второй вид сил – это силы, обусловленные взаимодействием элементов контура тока контактной системы, называемые часто контурными Pê. Силы Двайта всегда отталкивают один контакт от другого. При этом на один контакт радиуса r в осесимметричной контактной системе вдоль оси контактов действует сила [1]

Рис. 1.16. К определению сил отталкивания в контактах при протекании тока

Рис. 1.17. Типы компенсаторов электродинамических усилий в контактах

Необходимо отметить, что на разные контактные тела действуют различные силы Двайта, показанные на рис. 1.16.

Контурные силы могут быть направлены так, чтобы компенсировать действие сил Двайта. Это видно на схемах компенсаторов электродинамических контактных усилий (рис. 1.17), где через Pê обозначены контурные силы, компенсирующие силы Двайта Pä.

В быстродействующих автоматических выклю- чателях контурные электродинамические силы используют для ускорения отбрасывания подвижного контакта, что приводит к быстрому введению в цепь сопротивления возникающей электрической дуги. Последняя ограничивает нарастание тока при коротком замыкании.

Рассматривая вопросы сваривания контактов следует заметить, что радикальное разрешение этой проблемы состоит в использовании жидкометалли- ческих контактов.

Работа любого электрического аппарата сопровождается электромагнитными явлениями, которые определяют его функционирование, а также часто создают нежелательные воздействия на этот же аппарат, соседние устройства, экологию и пр. Эти явления подчиняются ряду законов, обобщающих знания о возникновении, распространении и взаимодействии электромагнитных полей со средой. На основании этих законов строятся математические модели поля, т.е. замкнутые системы рас- четных уравнений, учитывающие условия конкретной задачи.

Математическое описание физически определенного поля вектора F базируется на постулате о существовании двух его элементарных составляющих: вихревой Fâ , у которой отсутствуют истоки,

т.е. е¸ дивергенция равна нулю (СFâ = 0), и потенциальной Fï , у которой отсутствуют вихри, т.е. е¸ ротор равен нулю (С × Fï = 0). С помощью этих составляющих можно воссоздать топографию любой сложности распределения векторов в пространстве.

Если поместить железные опилки в магнитное поле, то вихревая составляющая этого поля образует из опилок замкнутые цепочки, а потенциальная – сходящиеся или расходящиеся не замкнутые на себя цепочки.

Физические поля создаются источниками. Из теоремы разложения Гельмгольца [13] следует, что там где располагаются эти источники, ротор или дивергенция вектора поля отличны от нуля. Значе- ние ротора равно объемной плотности векторного источника вихревой составляющей поля, а значе- ние дивергенции – объемной плотности источника потенциальной составляющей поля.

Эти общие положения распространяются на электромагнитное поле, которое описывается двумя уравнениями Максвелла [14], определяющими связь между электрическими и магнитными величинами, характеризующими это поле. Однозначность математического описания поля с помощью уравнений Максвелла достигается добавлением к ним материальных уравнений среды.

При анализе многих электротехнических устройств, в том числе электрических аппаратов, электромагнитное поле приближенно разделяют на компоненты:

–стационарное электрическое (электростати- ческое) поле;

–стационарное магнитное поле;

–переменное во времени и появляющееся мгновенно во всем пространстве (не учитываются волновые процессы) квазистационарное электромагнитное поле.

 электростатическом поле переменными являются вектор напряженности электрического поля E, вектор электрического смещения ( электрическая индукция ) D и вектор электрической поляризации P. Напряженность E характеризует силовое воздействие электрического поля на единичный

пробный заряд в данной точке. Предполагается, что внесение в поле пробного заряда не изменяет источники, создающие это поле. Электрическое смещение связано с напряженностью и поляризацией следующей зависимостью

ãäå e0 = (1 ¤ 36p) × 10−9 [Ф/м] – электрическая постоянная, er – относительная диэлектрическая проницаемость.

В нелинейных средах относительная диэлектри- ческая проницаемость и вектор поляризации зависят от напряженности. В анизотропных средах зависимость проницаемости от напряженности имеет тензорный характер, а вектора поляризации – вид векторной функции напряженности P(E). Математические выражения этих зависимостей называют

материальными уравнениями диэлектрических материалов. Для решения задач электростатического поля они должны быть заданы дополнительно

êуравнению (1.61).

Âтой части пространства, где расположены источники электростатического поля, согласно дифференциальной форме электростатической теоремы Гаусса [14], дивергенции векторов D è E отли- чаются от нуля:

ãäå rñâîá – объемная плотность свободного заряда; rñâÿç – объемная плотность связанного заряда, определяемая дивергенцией вектора поляризации:

Вихревые составляющие у полей векторов D, E è P отсутствуют, так как равны нулю роторы С ´ D è Ñ ´ E. Поэтому распределение в пространстве составляющих векторных полей D è E потенциально. Так напряженность электростатического поля

ãäå jý – скалярный электрический потенциал.

Выражение (1.65) представляет собой решение уравнения Пуассона [14] для скалярного электрического потенциала

которое следует из (1.63) и (1.65).

В областях поля, не содержащих зарядов, уравнение (1.66) превращается в уравнение Лапласа

Уравнения (1.65) и (1.66) являются уравнениями в частных производных, допускающими существование множества решений, из которых только одно удовлетворяет так называемым краевым условиям, соответсвующим конкретной задаче расчета неизвестных потенциалов, напряженностей и зарядов. В зависимости от постановки задачи в качестве краевых условий используются значения потенциала jý, его пространственных производных или граничные условия расположения векторов напряженности E и электрического смещения (электри- ческой индукции) D на поверхности раздела разнородных сред. Так при отсутствии свободного заряда на поверхности раздела двух сред тангенциальные составляющие (индекс ”t”) вектора E и нормальные составляющие (индекс ”n”) вектора D не претерпевают разрыва, и граничные условия выглядят следующим образом:

Et 1 = Et 2; Dn 1 = Dn 2; er 1 En 1 = er 2 En 2;

Для выполнения условий однозначности решения краевой задачи должны быть известны также диэлектрические свойства материалов в виде зависимостей : er (Å), D (E) èëè P (E).

Стационарное магнитное поле характеризуется следующими векторными переменными: магнитная индукция B, определяемая как сила, воздействующая на проводник с током, напряженность магнитного поля H и намагниченность среды M. Эти переменные связаны соотношениями

B = m0mr H = mà H ,

B = m0(H + M) = m0H + Bì ,

ãäå m0 = 4p × 10−7 [Гн/м] – магнитная постоянная;

Bì = m0M – индукция намагниченности.

Источники вихревых составляющих переменных магнитного поля определяются первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме

Ñ ´ H = J , (1.70)

ãäå J для стационарного магнитного поля – вектор плотности стороннего тока (тока проводимости) iñò.

Первое уравнение Максвелла в интегральной форме представляет собой закон полного тока

Здесь интеграл òJ dS для стационарного магнит-

S

ного поля равен iñò.