Потенциалом точки электростатического поля принято считать скалярную величину численно равную работе по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

(1.30)

Легко видеть, что дифференциал потенциала равен элементарной работе против сил электростатического поля, совершаемой над единичным точечным зарядом на перемещении .

      Если в определении (1.30) учесть, что - полный дифференциал, т.е.:

     и сравнить соответствующие члены в формулах (1.30) и (1.31), то легко получить:

     В компактной форме записи формулы (1.32) имеют вид:

     где вектор определен соотношениями:

     Градиент скалярного поля выделяет направление наискорейшего возрастания скалярной функции, а его модуль численно равен максимальной интенсивности возрастания этой функции.

      Скалярное поле часто описывают с помощью "поверхностей уровня", эквипотенциальных или изоповерхностей, которые определяются уравнением

     На эквипотенциальной поверхности

     что можно переписать в векторном виде:

     где принадлежит поверхности . Из условия (1.37) следует, что вектор перпендикулярен любому вектору , принадлежащему поверхности , то есть перпендикулярен элементу площади поверхности .

      Если при этом вспомнить, что справедливо соотношение (1.32), то получим утверждение, что силовые линии электростатического поля должны быть перпендикулярны соответствующим элементам площади эквипотенциальной поверхности.

      Заметим, что иногда встречается обозначение

     где - вектор единичной нормали (величина безразмерная!) к поверхности в точке, в которой вычисляется вектор , ориентированный в сторону увеличения ; - обозначение координаты ( - величина, имеющая размерность длины) вдоль направления . Таким образом - вектор, направленный вдоль описанного выше направления и численно равный производной от величины по координате вдоль этого направления.

      Соотношением (1.30) потенциал произвольной точки пространства определен с точностью до произвольной постоянной:

     При решении большого числа задач (но не всех!) удобно считать, что точка с координатами расположена "на бесконечности", а потенциал ее равен нулю.

      Следует иметь в виду, что "силовое" проявление электростатического поля (формула (1.33)) связано с производными от потенциала, при этом нет нужды учитывать "произвольную постоянную". В задачах, использующих энергетические характеристики отдельных элементов системы, необходимо иметь в виду, что потенциальная энергия системы определяется с точностью до одной произвольной постоянной, поэтому выбор произвольных постоянных для подсистем не может быть произвольным: энергии подсистем должны рассчитываться от одного уровня.