Теоретическая механика / Часть5

При решении задачи Д8 необходимо использовать теорию и примеры решения задач Д4 и Д7.

Пример Д8. Механическая система состоит из ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R₂ и r₂), груза 1 и сплошного катка 3, прикрепленных к концам нитей, намотанных на ступени шкива (рис. Д8). На шкив при его

Рис. Д8

вращении действует момент сил сопротивления М2. Массу шкива считать равномерно распределенной по внешнему ободу; шкив катится по плоскости без скольжения. Массами нитей пренебречь. Дано: R2 = R, r2 = 0,6R, Р1 = 6P, P2 = ЗР, P3 = 5Р, М2 = 0,2 PR,  = 30°. Определить: а1 – ускорение груза 1.

Решение. 1. Система состоит из груза 1, шкива 2, катка 3 и нитей; система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты координату х₁ груза 1, полагая, что груз движется вниз, и отсчитывая х₁ в сторону движения; ; обобщенная скорость или . Уравнение Лагранжа, с учетом выбранной обобщенной координаты и соответствующей обобщенной скорости, имеет вид

(1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме кинетических энергий всех тел (вычисления здесь аналогичны вычислениям, проводившимся в задаче Д4):

(2)

Так как груз 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 совершает плоскопараллельное движение, то

. (3)

Поскольку масса шкива считается распределенной по внешнему ободу, а каток – сплошной (его радиус обозначим r₃), то

(4)

3. Все скорости, входящие в T₁, T₂ и T₃ (₂, ₃, ), выразим через обобщенную скорость . Из рис. Д8 следует, что , то есть

, (5)

а также , откуда, с учетом (5), получаем

. (6)

Точка K – мгновенный центр скоростей катка, следовательно, ; подставляя (6), находим

. (7)

Подставляя (4)-(7) в (3), а затем значения T₁, T₂, T₃ в (2), получаем

,

или

. (8)

4. Вычислим производные, входящие в (1), учитывая (8):

, так как T не зависит от x₁ ; (9)

. (10)

5. Найдем обобщенную силу Q. Активные силы, действующие на систему: , , и момент сил сопротивления М₂, направленный против вращения шкива. Сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата х₁ получает положительное приращение , и покажем перемещения каждого из тел; для груза 1 это будет , для шкива 2 – поворот на угол , для катка 3 – перемещение его центра. Эти перемещения указаны на рис. Д8. После этого вычислим сумму элементарных работ сил и момента на данных перемещениях; получим

(11)

Сила работы не совершает, так как приложена к точке неподвижной оси.

Все входящие в (11) перемещения надо выразить через . Учитывая, что зависимости между элементарными перемещениями аналогичны зависимостям (5), (6) между соответствующими скоростями, получим

, (12)

. (13)

Подставляя (12), (13) в (11) и вынося за скобки, найдем

Коэффициент при в полученном выражении и будет обобщенной силой Q. Следовательно,

, (14)

или

(15)

6. Подставляя найденные величины (9), (10) и (15) в уравнение (1), получим

Отсюда находим искомое ускорение .

Ответ: а₁ = 0,37g.

Примечание1. Если в ответе получится а < 0 (или ε < 0), то это означает, что система движется не в ту сторону, куда было предположено. Тогда у момента М₂, направленного против вращения шкива, изменится направление и, следовательно, как видно из равенства (14), изменится величина Q, для которой надо найти новое верное значение.

Примечание 2. Если требуется найти закон изменения обобщенной координаты (закон движения груза 1), то, учитывая, что , интегрируем это уравнение и находим .

128