Электромагнетизм основные формулы
.pdf
47
РАЗДЕЛIV. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Основные формулы
Связь магнитной индукции B с напряженностью H магнитного поля
B = µµ0 H ,
где µ - магнитная проницаемость изотропной среды; µ0 - магнитная постоянная. В вакууме µ = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме
|
|
|
|
|
B = µ0 H . |
|
|
|
Закон Био—Савара—Лапласа |
|
|
|
|
||||
d B = |
µµ |
0 |
[dlr] |
I |
или d B = |
µµ0 I sinα |
dl , |
|
4π |
|
r3 |
4π |
r 2 |
||||
где d B - магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной dl
с током I; r - радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; α - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе провода.
Магнитная индукция в центре кругового тока
B = µµ2R0 I ,
где R - радиус кругового витка.
Магнитная индукция на оси кругового тока
B = |
µµ |
0 2πR2 I |
, |
||
|
|
|
|||
4π (R2 + h2 )3 / 2 |
|||||
|
|
||||
где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля прямого тока
B = µµ0 I /(2πr0) ,
где r0 - расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током
(см. рис. 4.1,а),
B = µµ0 I (cosα1 −cosα2) . 4πr0
48
Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции B обозначено точкой -
это значит, что B направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.
При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рисунок. 4.1,б), -cosα2 = cosα1 = cosα, тогда
B = µµ0 I cosα . 2π r0
Магнитная индукция поля соленоида |
Рисунок 4.1 |
B = µµ0nI , |
|
где п - отношение числа витков соленоида к его длине.
Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера),
F = I[l B], или F = IBl sinα ,
где l - длина провода; α - угол между направлением тока в проводе и вектором
магнитной индукции B . Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:
d F = I[dl B].
Магнитный момент плоского контура с током pm = nIS ,
где n - единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; I - сила тока, протекающего по контуру; S - площадь контура.
Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,
M =[pm B], |
или |
M = pmB sinα , |
|
где α - угол между векторами pm и B . |
|
|
|
Потенциальная энергия (механическая)* |
контура с током в |
||
магнитном поле |
|
|
|
Пмех = −pm B , |
или |
Пмех |
= −pmB cosα . |
_____________________________________________________________________
* Часть полной потенциальной энергии, которая обусловлена существованием механического (вращательного) момента.
49
Отношение магнитного момента рт к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по крутой орбите,
pLm = 12 Qm ,
где Q - заряд частицы; т — масса частицы. Сила Лоренца*
F =Q[νB], или F =QνB sinα ,
где ν - скорость заряженной частицы; α - угол между векторами
ν и B .
Магнитный поток:
а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности
Ф = BS cosα или Ф=BnS,
где S - площадь контура; α - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;
б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
Ф = ∫S BndS
(интегрирование ведется по всей поверхности). Потокосцепление (полный поток)
Ψ = NФ.
Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.
Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле
A = I∆Ф.
ЭДС индукции
εi = −ddtΨ .
Разность потенциалов на концах провода, движущегося со скоростью ν в магнитном поле,
U = Blν sinα ,
где l - длина провода; α - угол между векторами ν и B .
Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур,
Q = ∆Ф/ R , или Q = N∆Ф/ R = ∆Ψ/ R ,
где R - сопротивление контура. Индуктивность контура
L=Ф/I.
ЭДС самоиндукции
εs = −L dIdt .
____________________________________________________________________
* Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение F = Q E +Q[ υ B ].
50
Индуктивность соленоида
L=µµ0n2V,
где п - отношение числа витков соленоида к его длине; V - объем соленоида. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R
и индуктивностью L:
а) I = |
ε |
(1 −e−Rt / L ) (при замыкании цепи), где ε - ЭДС источника тока; t - |
|
R |
|||
|
|
время, прошедшее после замыкания цепи;
б) I = Ioe−Rt / L (при размыкании цепи), где I0 — сила
тока в цепи при t = 0; t - время, прошедшее с момента размыкания цепи. Энергия магнитного поля
W = LI2 2 .
Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)
ω = BH / 2, или ω = B2 /(2µµ0) , или ω = µµ0 H 2 / 2 ,
где В - магнитная индукция; H - напряженность магнитного поля.