Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

Приложение 8

Критические точки распределения х^ Пирсона

400

{ ^^2 >1 ^

4к.

О

404

Приложение 11

Задание для расчетно-графической работы «Моделирование показателей надежности технических систем с использованием аппарата марковских случайных процессов»

Вариант 1

Представим автомобиль как некоторую систему S с дискретными состояниями 6*1, Sly ..., S^y которая переходит из состояния Si в состо­ яние Sj{i = 1, 2, ..., n,j = 1, 2, ..., п) под воздействием пуассоновских потоков событий (отказов) с интенсивностями Я/у. Будем рассматри­ вать следующие состояния автомобиля, в которых он может находить­ ся в процессе эксплуатации и которые характеризуются целодневными простоями:

Si - исправен, работает;

^2 - проходит техническое обслуживание; ^^з — находится в текущем ремонте; *$4 — находится в капитальном ремонте; 1S5 ~ проводится замена агрегата;

5б - исправен, не работает по организационным причинам; ^7 — исправен, не работает, выходные и праздничные дни; 5g — списывается.

Рассматриваемые состояния Sj автомобиля характеризуются сред­ ним числом дней пребывания автомобиля в каждом у-м состоянии ( / = 1 , 2 , ..., п) Mj . Отношение

тлсДх— число календарных дней в году, можно трактовать как вероят­ ность нахождения автомобиля ву-м состоянии Pj.

Вероятности Pj являются функциями пробега автомобиля Pj(L). Вероятность нахождения автомобиля в состоянии Si (исправен,

работает) Pi(L) представляет собой коэффициент выпуска автомобиля

— один из основных показателей работы автопредприятия. Возможные переходы автомобиля из состояния 5,- в состояние *S^

описаны матрицей переходов.

Соответствующие интенсивности потоков событий Ху, переводя­ щих автомобиль из состояния 5} в состояние Sj, определяются по фор­ мулам, приведенным в табл. П.11.1.

Требуется:

1. Построить размеченный фаф состояний системы ^'-автомобиль по заданной матрице переходов.

2. Определить интенсивности Ху, используя формулы табл. П. 11.2.

406

Таблица П.11.1

Интенсивности перехода

Исходные данные для определения Х^/. среднесуточный пробег — 0,2 тыс. км;

среднее время простоя автомобиля в текущем ремонте — 1,5 дня; среднее время простоя по организационным причинам - 2 дня; остальные данные выбираются, исходя из профессиональных со­

ображений.

3.Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова

ирешить ее методом Рунге—Кутта с использованием стандартной профаммы на ЭВМ при следующих условиях:

а) пределы интегрирования: нижний — О, верхний — 20; б) шаг интегрирования ~ 0,5;

в) начальные условия: Pi(L) = 1, Pj(L) = О,у = 2, 3, ..., /?;

407

г) результаты вывести на печать в точках 1, 5, 10, 15, 20 с точнос­ тью J?= 10"^

4.Получить значения коэффициента выпуска автомобиля Pi(L) и построить график зависимости коэффициента выпуска от пробега.

5.Определить влияние на изменение коэффициента выпуска сред­ несуточного пробега и среднего времени простоя в ремонте; измене­ ние значения этих показателей на 40-60 %. Построить графики.

Примечания:

Интенсивность

где 7)- — среднее время пребывания в /-м состоянии.

Интенсивность Xjg = О для L < 400 тыс. км.

Для приведения всехX Iинтенсивностей перехода X^j к единым едини­

стояния (автомобиль исправен) во все у-е состояния X^j при составле­ нии дифференциальных уравнений умножаются на коэффициент ^^с (среднесуточный пробег).

Вариант 2

В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматриваться как физи­ ческая система S, которая в результате проверки может оказаться в од­ ном из следующих состояний:

Si — ЭВМ полностью исправна;

5*2 — ЭВМ имеет незначительные неисправности в оперативной памяти, при которых она может решать задачи;

53 — ЭВМ имеет существенные неисправности и может решать ог­ раниченный класс задач;

54 - ЭВМ полностью вышла из строя; ^5 — ЭВМ находится на профилактике;

5б — ЭВМ не работает по организационным причинам;

Sj - ЭВМ не работает, праздничные и другие нерабочие дни; ^g — ЭВМ списывается.

Рассматриваемые состояния Sj ЭВМ характеризуются средним вре­ менем 7} пребывания ЭВМ в каждом у-м состоянии.

Отношение

Pj=Tj/T,

где Т — возможное время работы ЭВМ в данный период (месяц, квартал, год и т. д.), можно трактовать как вероятность Fj нахождения ЭВМ в у-м состоянии.

408

Вероятности Pj являются функциями времени Pj{t). Вероятность нахождения ЭВМ в состоянии P{t) = Pi{t) + Piit) может быть истолко­ вана как вероятность безотказной работы ЭВМ, т. е. как один из пока­ зателей надежности технической системы.

Возможные переходы системы .^-ЭВМ из состояния 5} в состояние Sj(i = 1, 2, ..., Ai;y = 1, 2, ..., л) описаны матрицей переходов.

Соответствующие интенсивности потоков событий \у, переводя­ щих ЭВМ из состояния Si в состояние Sp определяются по формулам, приведенным в табл. П. 11.2.

Требуется:

1. Построить размеченный граф состояний системы 5-ЭВМ по за­ данной матрице переходов.

409