Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

которых план, полученный в табл. 12.2, будет оставаться оптималь­ ным. План оптимален, если все коэффициенты функции Zf будут неотрицательны:

Pn'^g„t>0.

Столбцы, соответствующие базисным переменным, можно не рассматривать. Из решения полученной системы неравенств мож­ но найти интересующий нас интервал.

Рассмотрим несколько случаев:

а) Пусть все коэффициенты qj > 0,у = 1,л. Тогда / > -Pj/qp па­ раметр /, удовлетворяющий системе (12.3), определяется выраже­

В интервале (12.4) целевая функция достигает максимума в той же вершине.

380

б) Пусть все коэффициенты QJ < О, тогда из (12.3) имеем / < < —Pj/Qy Для того чтобы значение / удовлетворяло всей системе

в) Пусть среди элементов qj имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Разделив неравенства системы (12.3) на две группы соответст­ венно знакам qj, получаем два интервала (12.4) и (12.5), объединяя эти интервалы, получим

ai = max (-pj/qd < / < min (-pj/qj)= аз-

r) Если qj = 0, TO соответствующий коэффициент функции бу­ дет неотрицательным при любом t, поэтому на такой столбец мож­ но не обращать внимания.

Сравниваем полученный интервал (щ; а2) с заданным [а, Р]. Независимо от значения щ, левой границей первого интервала бу­ дет а, так как aj больше а быть не может. Если а2 > Р, то весь от­ резок попадает внутрь интервала [aj, а2], и задача решена. Для лю­ бого значения параметра / е [а, р] максимум Zf достигается в од­ ной и той же вершине

ар

Если а2 < Р, то найденный интервал исключаем из рассмотре­ ния и решаем задачу для оставшегося интервала (а2, р). Для этого полагаем г = а2 и заменяем строку Z^ строкой ZCJ2. За разрешаю­ щий столбец в новой таблице выбираем тот, по которому опреде­ лено значение / = а2 (в этом столбце на пересечении с Zo^2-cтpoкoй находится элемент, равный нулю). Если нули находятся в несколь­ ких столбцах, то за разрешающий можно брать любой из них.

Для найденного решения снова определяем интервал измене­ ния параметра / и т. д. Если в разрешающем столбце не окажется положительных элементов, задача на оставшемся интервале не име­ ет решения.

381

П р и м ер 12.2. Решить задачу параметрического программиро­

Составим первую симплекс-таблицу с дополнительными строч­ ками для функции Zf и выполним преобразование симплекс-табли­ цы для решения задачи (табл. 12.3—12.4).

Таблица 12.3

382

383

в табл. 12.4 получено оптимальное решение, так как все коэф­ фициенты ZpCTpoKH неотрицательны — х = (0; 0; 1; 0; 5; 3). Опре­ делим интервал для /, в котором оптимальное решение будет в той же вершине. Так как все qj < О (табл. 12.4), то согласно (12.5) tti = —оо, а2 = 12,5.

Для нашего случая щ = I (левый конец заданного отрезка). Та­ ким образом, на отрезке [1; 12/5] решение будет в точке л: = (0; 0,1; 0; 5; 3). Исключаем найденный отрезок из рассмотрения и решаем задачу для оставшегося отрезка [12/5; 8]. Для этого, полагая / = 12/5, вычисляем для него строку Zj2/5- В первом столбце полу­ чим нуль; остальные коэффициенты Z12/5 строки положительны, а другие элементы остаются прежними (табл. 12.5). За разрешающий столбец в табл. 12.5 выбираем тот, по которому определено значе­ ние / = а2. Если нули находятся в нескольких столбцах, то за раз­ решающий можно брать любой из них. Новый план х = (1/2; 0; 0; 0; 3/12; 0) оптимален, так как в строке Z12/5 нет отрицательных элементов (практически элементы строки Zj2/^ остались без из­ менения).

В последней строке табл. 12.6 все qj > О, поэтому согласно (табл. 12.6) ai = 12/5, а2 = +«>; t е [12/5; 8]. Таким образом, заданный промежуток разбился на два; при / = 12/5 оптимальное значение достигается в обеих вершинах и в любой точке, являющейся их вы­ пуклой линейной комбинацией

А = XiAi + Х2А2; Xi > 0; ^2 > 0; ^i + Я2 = 1.

384

Задачи

12.1. Решить графическим методом

12.2.

Zf = 4л:1 + (2 + t)x2 —> max;

2xi - 5x2 ^ 10;

Xj + ^2 < 5;

-Xj + X2 < 4; 4xi + 5x2 ^ 40;

xj > 0 ; x 2 > 0 ; te [0; 8].

12.3. Решить аналитически

Z; = (1 + Oxi + (2 - /)X2 + (2 - ЗОхз + (1 - 20x4 -> max;

Xj + X2 + 2x3 — X4 < 5; Xi + 2x2 •*• X4 < 7;

12.4.

Zf = (10 - lOOxi -f (9 + 0x2 + (7 - 20x3 -^ max;

Xi + X2 < 5;

2xi + X3 < 7;

Xi + 2x2 "^ 3^3 ~ 3; Ху>0;У=1,3;^б [1; 10].

12.5.

Z^ = /Ixj + (1 + 0x2 -^ max;

-3xi 4- 4x2 ^ 12;

4xi + X2 < 8;

X i > 0 ; x 2 > 0 ; / G [1; 7].

385

Глава 13 Целочисленное программирование

Постановка задачи и алгоритм решения

По смыслу многих задач требуется, чтобы значение неизвест­ ных в оптимальном плане выражались целыми числами. К ним от­ носятся задачи, у которых переменные величины означают количе­ ство единиц неделимой продукции, например, распределение про­ изводственных заданий между предприятиями, раскрой материа­ лов, загрузка оборудования, распределение судов по линиям, самолетов по рейсам, а также задачи по производству неделимой продукции. Если единица составляет малую часть всего объема производства, то оптимальное решение находят обычным симп­ лекс-методом, округляя его до целых единиц, исходя из смысла за­ дачи. В противном случае округление может привести к решению, не удовлетворяющему системе ограничений (особенно, если значе­ ния неизвестных выражены малыми числами). Поэтому для на­ хождения оптимального целочисленного решения нужен особый алгоритм.

Идея такого алгоритма заключается в следующем: вначале ус­ ловие целочисленности не принимается во внимание и симплексметодом отыскивается оптимальный план. Если этот план нецело­ численный, составляется дополнительное ограничение, которому удовлетворяет любое целочисленное решение, но заведомо не удов­ летворяет найденное.

После введения этого ограничения в задачу план становится недопустимым, и решение продолжается опять до получения опти­ мума. Если новый оптимальный план также окажется нецелочис­ ленным, снова формулируется дополнительное ограничение и для расширенной задачи снова находится оптимум и т. д.

Геометрически дополнительному ограничению соответствует гиперплоскость, которая отсекает от многогранника решений ка­ кую-то часть вместе с вершиной, которой соответствует нецелочис­ ленное решение. При этом все точки с целочисленными координа­ тами остаются в новом многограннике, так что через несколько операций такая точка становится вершиной с целочисленными ко­ ординатами (рис. 13.1).

386

Гиперплоскости

^тах (координаты целые)

^1

Рис. 13.1. Геометрическая интерпретация решения задачи целочисленного программирования

Пусть требуется найти максимум целевой функции

(13.1)

при ограничениях

(13.2)

Не нарушая общности, можно предположить, что все коэффи­ циенты системы (13.2) выражаются целыми числами.

Приводим систему к виду

anxi +Д12Х2 -\-.,. + ainX„+yi =^1

(13.3)

где У1 — выравнивающие неизвестные.

387

Отметим, что целочисленность переменных Xj влечет за собой целочисленность переменных у^.

Составим первую симплекс-таблицу и после / шагов получим оптимальный план, который можно представить последней симп­ лекс-таблицей.

Таблица 13.1 Общий В1Щ первой симплекс-таблицы решения задачи

целочисленного программирования

Если все свободные члены целые - задача решена. Для удобст­ ва все базисные переменные обозначим г)Д/ = 1,т), а все свобод­ ные переменные t,j,J = 1, л, тогда таблица примет вид (табл. 13.2):

С целью упрощения в таблице опущены:

а) столбцы, соответствующие базисным переменным; б) целевая строка; в) контрольный столбец.

388

Пусть свободный член bj является дробным, в этой же строке среди коэффициентов by могут быть как дробные, так и целые. Обо­ значим буквой п с соответствующими индексами антье от by и 6/.

E{bij) = riip E(b,) = А?,.

Вычислим разности между соответствующими коэффициен­ тами и Е:

Эти разности удовлетворяют условиям

0<Р^.<1;

(13.5)

Выпишем из таблицы выражение для г|^ и заменим в нем коэф­ фициенты согласно условию (13.4), тогда получим:

Л/ =(Р/1 +«a).(4i) + -..+(Pm +«m)K,i) + P/ +«/;

Si > -Р^; учитывая выражение (13.5), заключаем, что Si может при­ нимать значения: О, 1, 2, ... и т. д.

Вывод. При любых целых неотрицательных г], и ^/, Si принима­ ет целые неотрицательные значения.

Введем в задачу дополнительное ограничение (табл. 13.3), ис­ пользуя подчеркнутую часть выражения (13.7).

Дополнительному ограничению удовлетворяет любой целочис­ ленный план издания, в то же время найденный ранее оптималь­ ный план для расширенной задачи является недопустимым, так как Si = -bi < 0.

Для расширенной задачи обычным путем отыскибается снача­ ла допустимый план, а затем оптимальный.

389