5.7 Квантовая механика

•Волновая функция позволяет вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект.

•Например, среднее расстояние:

r r 2 dV r *dV

-интегрирование производится по всему пространству.

•Именно средние значения сопоставляются с экспериментальными данными.

Принцип неопределенности Гейзенберга

•Приписывать микрочастицам все свойства как частиц, так и волн нельзя, необходимо внести некоторые ограничения в применении

кобъектам микромира понятий классической механики.

•В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс.

•Микрочастицы (из-за наличия у них волновых свойств) существенно отличаются от классических частиц. Нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории.

•Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица

не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рх, ру, pz):

x px h; y py h; z pz h

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка постоянной Планка h.

Уравнение Шредингера

• Развивая идеи де Бройля о волновых свойствах микрочастиц, Э.Шрёдингер постулировал в 1926 г. уравнение — основное уравнение

нерелятивистской квантовой теории:

т — масса частицы;

U (x, y, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется;

Ψ(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы;

∆ — оператор Лапласа:

2 2 2x2 y2 z2

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

•Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния, в которых физические величины не меняются с течением времени.

•U (x, y, z) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии частицы.

•В стационарных состояниях пси-функция представляется в виде

произведения функции только координат и функции только времени:

Подставим в общее уравнение Шредингера и получим

уравнение Шредингера для стационарных состояний

2m2 E U 0

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

•Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, оказываются возможными лишь при некоторых значениях энергии Е.

Их называют собственными значениями.

•Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или

непрерывный энергетический спектр.

•Функции , являющиеся решениями уравнения Шредингера при этих значениях энергии, называются собственными функциями, принадлежащими собственным значениям Е.

Принцип причинности в квантовой механике

• В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией (x, у, z, t), квадрат модуля которой | (x, у, z, t)|2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.

•В свою очередь, волновая функция (х, у, z, t) удовлетворяет

уравнению Шредингера, содержащему первую производную функции по времени.

•Это означает, что задание функции 0 (для момента времени t0)

определяет ее значение в последующие моменты t > t0 .

• Следовательно, в квантовой механике начальное состояние 0 есть причина, а состояние в последующий момент - следствие.

•Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное

вквантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип причинности.

Принцип соответствия

 Всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую.

•Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности Эйнштейна переходят при v << с в формулы механики Ньютона.

•В квантовой механике гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.

Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками

U (x)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы:

d2 2m E 0

dx2 2

Граничные условия: (0) ( ) 0