Программа курса D

Программа курса D.М.

1. Элементы теории множеств.

   1. Множества. Конечные и бесконечные множества. Подмножества. Равенство множеств.

   2. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность; их свойства.

2. Комбинаторика.

   1. Предмет комбинаторики. Комбинаторные задачи (например, о числе функций, слов в алфавите, размещения объектов по ячейкам при различных ограничениях). Правила суммы и произведения.

   2. Перестановки, размещения, сочетания.

   3. Комбинаторные тождества, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля.

3. Элементы логики высказываний.

   1. Предмет логики высказываний. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

   2. Табличное задание функций. Таблицы истинности.

   3. Свойства логических операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и др.

   4. Булевы функции.

4. Элементы теории графов.

   1. Понятие графа. Изоморфные графы. Степени вершин.

   2. Число вершин нечетной степени в конечном графе.

   3. Пути, простые пути, циклы. Связность.

   4. Эйлеровы пути и циклы. Алгоритм построения эйлеровых циклов.

   5. Деревья. Висячие вершины, висячие ребра. Свойства деревьев.

Для выполнения курсовой работы могут понадобиться разделы:

1. Гамильтоновы пути и циклы.

2. Ориентированные графы. Нахождение кратчайших путей в ориентированном графе от фиксированной вершины.

Элементы теории множеств

Под множеством будем понимать любой набор каких угодно предметов, называемых элементами множества: можно говорить о "множестве студентов данной группы", "множестве точек данного круга", "множестве элементов периодической системы" и т. д.

Будем говорить, что множество задано, если про любой элемент можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Множества будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С … , а элементы множеств – малыми: а, в, с … .Тот факт, что а является элементом множества А, обозначается с помощью символа аА; соответственно, если элемент в не принадлежит множеству А, то пишут вА.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным.

Например, множество страниц в любой книге есть конечное множество, а множество натуральных чисел – бесконечное.

Возможны различные способы задания множеств. Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в множество. Множество студентов данной группы определяется списком их в экзаменационной ведомости, множество стран на земном шаре – их списком в географическом атласе. Но этот способ применим только к конечным множествам, да и то далеко не ко всем. Например, хотя множество рыб в океане и конечно, вряд ли его можно задать списком! А уж бесконечные множества никак нельзя определить с помощью списка; попробуйте, например, составить список всех натуральных чисел, - ясно, что составление этого списка никогда не закончится.

В этих случаях множество задают путем указания некоторого характеристического свойства – такого свойства, что элементы множества им обладают, а всё остальное на свете – нет. Пусть, например, А – множество целых чисел, делящихся на 3. Тогда 6А, 0А, 11А, 0,2А.

Само название "множество" наводит на мысль, что каждое множество должно содержать "много" элементов. Но это не так. В математике приходится рассматривать множества, состоящие только из одного элемента, и даже множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называют пустым и обозначают .

Отношения и операции над множествами

Определение 1. Множество А является подмножеством множества B (это обозначается символом АВ), если любой элемент из А является элементом В.

Про отношение АВ говорят также, что A содержится (включается) в B или что В содержит (включает) А.

Определение 2. Множества А и В называются равными (это обозначается символом А=В), если они являются подмножествами друг друга.

Определение 3. Объединением множеств А и В называется множество (обозначается символом АВ), состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств.

Определение 4. Пересечением множеств А и В называется множество (обозначается символом АВ), состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в каждое из этих множеств.

Определение 5. Разностью множеств А и В называется множество, (это обозначается символом А–В), состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в A, но не входят в В.

Обычно все множества, с которым имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого фиксированного множества I. Например, в арифметике таким множеством является множество неотрицательных рациональных чисел, в алгебре – множество комплексных чисел и алгебраических функций, в

геометрии – множество точек пространства. Множество I называют универсальным множеством.

Определение 6. Множество =I – А называется дополнением множества А.

Введенные операции обладают следующими свойствами (проверьте!):

1. Коммутативность операций объединения и пересечения:

, .

2. Ассоциативность операций объединения и пересечения:

, .

3. Дистрибутивность операций объединения и пересечения:

, .

4. Законы двойственности (законы де Моргана):

, .

5. .

Приведем для примера доказательство свойства 5 (остальные доказываются аналогичными рассуждениями). Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, проверим два включения: и .

Пусть , тогда, по определению разности, и , следовательно, . Таким образом, любой элемент множества является элементом множества , то есть, по определению подмножества, . Обратно, если , то, по определению пересечения, и , то есть , значит, . Итак, множества и являются подмножествами друг друга, значит, они равны.

Пример. Пусть I – множество всех студентов ПГТУ, A – множество студентов вашей группы, B – множество студентов ПГТУ, которые учатся на "отлично" и "хорошо", С – множество всех девушек-студенток ПГТУ. Дайте описание следующих множеств:

а) АВ,

б) B– ,

в) ,

г) всех юношей вашей группы, которые учатся на хорошо и отлично,

д) всех девушек вашей группы,

е) всех девушек ПГТУ, которые не учатся в вашей группе и имеют в зачетке тройки.

Решение. а) AB – множество студентов вашей группы, которые учатся на "отлично" и "хорошо".

б) По свойству 5, B–=, значит, B–– множество студенток ПГТУ, которые учатся без троек.

в) Применяя свойства операций над множествами, получаем: =

==

=.

Значит, в искомое множество входят те и только те студенты, для которых верно хотя бы одно из утверждений: 1) не входит в множество , то есть не является хорошистом группы, 2) входит в множество С. Таким образом, в искомое множество входят все студенты ПГТУ, кроме юношей-хорошистов вашей группы.

г) (A-C)B=(AB)-С;

д) CA;

е) (C-A)-B (заметьте, что это не равно C-(A-B)).

Задачи

1. Чему равно: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) ?

2. Множество А состоит из целых чисел, делящихся на 4, множество В – из целых чисел, делящихся на 10, множество С – из целых чисел, делящихся на 75. Найти .

3. Множество А состоит из точек координатной плоскости с координатами , для которых , ; множество B состоит из точек, для которых ; множество С состоит из точек, для которых . Изобразить на плоскости множество .

4. Докажите равенства (можно – и даже рекомендуется – использовать свойства 1-5, а также уже доказанные равенства при доказательстве последующих):

а) ;

б) ;

в) .

5. Докажите, что тогда и только тогда, когда .

6. Упростите выражение: .

Комбинаторика

В самых разных областях человеческой деятельности часто требуется выяснить, сколько различных комбинаций, подчиняющихся тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Такие задачи называют комбинаторными, а область математики, их изучающую – комбинаторикой.

Правила суммы и произведения

Основой для решения любых комбинаторных задач служат два простых правила – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы. Если в нашем распоряжении n способов выбрать элемент а и (независимо от них) m способов выбрать элемент b, то выбрать один из элементов а или b можно n+m

способами.

Например, если на тарелке лежат 5 яблок и 9 груш, то выбрать яблоко или грушу можно 14 способами – либо одно из 5 яблок, либо одну из 9 груш.

Несколько сложнее правило произведения – в нем речь идет о выборе упорядоченной пары элементов (а,b).

Правило произведения. Если в нашем распоряжении n способов выбрать элемент а и (независимо от них) m способов выбрать элемент b, то упорядоченную пару можно выбрать способами.

Пусть на тарелке снова лежат 5 яблок и 9 груш. Пару «яблоко+груша» можно выбрать 5·9=45 способами.

Чтобы убедиться в справедливости правила произведения в общем виде, обозначим все способы выбора элемента а через а₁ , а₂ ,..., а_n , а все способы выбора элемента b – через b₁ , b₂ ,..., b_m . Тогда все пары вида располагаются в следующую таблицу из n строк и m столбцов:

(а₁ , b₁), (а₁,b₂),..., (а₁,b_m),

(а₂ ,b₁), (а₂ ,b₂),..., (а₂ ,b_m),

.....................................

(а_n ,b₁), (а_n ,b₂), ..., (а_n ,b_m).

В этой таблице как раз n m пар.

В случае, если нужно выбрать не два, а большее число объектов, нужно также перемножить количества вариантов выбора каждого из них. Иными словами, верно следующее правило.

Если элемент а₁ можно выбрать n₁ способами, элемент а₂ – n₂ способами, элемент а_k – n_k способами, то набор (а₁, а₂,...,а_k) можно выбрать n₁·n₂·…·n_k способами (если наборы, отличающиеся порядком элементов, считать различными).

Пример 1. В некоторой стране есть три города: А, В и С. Из города А в город В ведет 6 дорог, из города В в город С – 4 дороги, из А в С – 2 дороги. Сколькими способами можно проехать от города А до города С?

Решение. Выделим два случая: маршрут проходит через город В или напрямую ведет из А в С. В первом случае (в силу правила произведения) получаем 6·4=24 различных маршрута, во втором – 2 маршрута. Используя правило суммы, получаем, что общее число различных маршрутов от А до С равно 24+2=26.

Пример 2. Пять студентов сдают зачет по плаванию. Зачет сдан, если студент проплывет 100 метров (за любое время). Если же студента придется вылавливать, то зачет не сдан. Сколькими способами может закончиться заплыв?

Решение. Занумеруем студентов в каком-то порядке числами от 1 до 5. Для каждого из них есть две возможности – он либо сдаст зачет, либо нет. В первом случае поставим студенту в соответствие 1, во втором – 0. Тогда исход заплыва выразится последовательностью из 0 и 1. Например, последовательность 1, 0, 1, 0, 1 означает, что умеют плавать только первый, третий и пятый студенты. Последовательность 1, 1, 1, 1, 1 означает, что до финиша сумели доплыть все, а последовательность 0, 0, 0, 0, 0 – напротив, что всех пришлось вылавливать. Таким образом, задача о числе всех исходов заплыва свелась к следующей: сколько последовательностей длины 5 можно составить из цифр 0 и 1? Ответ на этот вопрос легко получить, воспользовавшись правилом произведения: цифру на каждое место в последовательности можно выбрать двумя способами, значит, общее число исходов заплыва равно 22222=32. Итак, заплыв может закончиться 32 способами.

Перестановки

Начнем с примера. Пусть имеется 7 шариков: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Сколькими способами их можно выложить в ряд? Попытавшись решить задачу прямым перебором, мы рискуем устать и запутаться: количество способов оказывается совсем не маленьким! Значит, для успешного подсчета нужна какая-то система... Вспомним сформулированное выше правило произведения и попробуем действовать по той же схеме. Пусть для шариков у нас нашлось 7 коробочек, занумерованных числами от 1 до 7. Для коробочки 1 шарик можно выбрать, естественно, 7 способами. Но тогда для коробочки 2 остается уже выбор только из 6 шариков. А сколькими способами можно выбрать шарики для пары коробочек – 1 и 2? Вспоминаем правило произведения: 7·6=42. Для третьей коробочки осталось уже только 5 шариков. Значит, заполнить первые три коробочки

можно 7·6·5=210 способами. И так далее – до седьмой коробочки, для которой выбор придется проводить из одного шарика. А всего различных способов заполнить коробочки шариками цвета радуги будет 7·6·5·4·3·2·1=5040.

Теперь дадим необходимые определения.

Определение. Пусть множество М состоит из n различных элементов: 1, 2, 3, …, n. Число способов, которыми можно расположить в ряд один за другим все элементы множества М, называется числом перестановок из n элементов и обозначается символом Р_n.

Определение. Пусть n – натуральное число. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом числа n и обозначается символом n! = 1·2·3·…·n (читается «эн-факториал»).

Оказалось удобным договориться, что 1!=1 и 0!=1.

Упражнение 1. Докажите, что .

Упражнение 2. Вычислите: а) 10!; б) .

Рассуждая так же, как в задаче о разноцветных шариках, легко установить следующий факт.

Число перестановок из n элементов Р_n = n!

Упражнение 3. Докажите эту формулу.

Размещения и сочетания

Опять начнем с примера. Дан набор цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных двузначных чисел можно составить из этого набора? А трехзначных?

Первую цифру числа можно выбрать 5 способами. Для выбора второй цифры, таким образом, остается 4 варианта. Значит (опять-таки в силу теоремы о произведении) двузначных чисел можно составить 5·4=20. Для трехзначных цепочку продолжим: третье число выбирается 3 способами, значит, трехзначных чисел будет 5·4·3=60.

Обобщая этот пример, получаем следующее

Определение. Пусть множество M состоит из n различных элементов: 1, 2, 3, ..., n. Число способов, которыми можно расположить в ряд k элементов множества М, называется числом размещений из n по k и обозначается символом .

Число размещений .

Действительно, первый элемент подмножества выбирается n способами, второй – cпособом, ..., а последний, k-й, – способом.

Упражнение 4. Найдите, чему равно: а); б); в) ? Используя ответы, дайте другое определение числа перестановок из n элементов.

Теперь договоримся при выборе k элементов из n считать одинаковыми наборы, состоящие из одних и тех же элементов, но взятых в различном порядке. Число таких наборов называется числом сочетаний из n по k и обозначается символом . Другими словами, число сочетаний из n по k есть число различных подмножеств из k элементов множества из n элементов.

Найдем, как связаны число размещений и число сочетаний (при одних и тех же n и k). Подмножества, состоящие из одних элементов, но в разном порядке, при подсчете числа сочетаний учитываются один раз, а при подсчете числа размещений – столько раз, сколько различных множеств можно составить из k различных элементов. А сколько же их можно составить? Конечно, k! – ведь это не что иное, как число перестановок из k различных элементов. Значит, число сочетаний меньше числа размещений ровно в k! раз.

Число сочетаний

.

Упражнение 5. Найдите, чему равно а); б); в).

Комбинаторные тождества

Используя формулу для числа сочетаний можно получать разные его свойства. Интересно, что те же свойства часто можно доказать при помощи простых комбинаторных рассуждений.

Свойство 1. .

Доказательство. Заметим, что выбор k элементов из n равносилен выбору элементов, «оставшихся» невыбранными. Поэтому число способов, которыми можно выбрать k элементов из n равно числу способов, которыми можно выбрать элементов из n, т.е. .

Свойство 2. .

Доказательство. Рассмотрим множество М, состоящее из элемента:. Представим М в несколько ином виде: М=. Разобьем все подмножества из k элементов на две группы: содержащие ()-й элемент и не содержащие. В подмножествах первой группы не хватает элемента, которые будут выбираться из множества ; это можно сделать способами. Чтобы образовать подмножества второй группы, нужно из множества выбрать k элементов. Это можно сделать способами. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Треугольник Паскаля

Полученному выше свойству 2 числа сочетаний можно дать красивую «геометрическую» интерпретацию. Т.к. равно 1, напишем в первой строке 1. В следующей строке напишем и (каждое из них равно 1), так, чтобы значение оказалось над промежутком между этими двумя числами. Числа и также равны 1. Их мы запишем в следующей строке, а между ними запишем , равное, по свойству 2, +. Таким образом, число равно сумме чисел предыдущей строки, стоящих слева и справа от него. По тому же правилу заполняем и последующие строчки: сначала по бокам пишем и (они всегда равны 1), а затем под каждыми двумя числами предыдущей строки записываем их сумму.

В результате мы получаем следующий числовой треугольник:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

…………………………

Он носит название треугольника Паскаля. С его помощью легко находить числовые значения числа сочетаний. Если нумеровать в треугольнике Паскаля строки и места в строках, начиная не с 1, а с 0, то тогда получится, что стоит на k-м месте в n-ой строке.

Упражнение 6. С помощью треугольника Паскаля найдите .

Задачи

1. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно переставлять вагоны, образуя этот поезд?

2. При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

3. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

4. На окружности отмечено 1000 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

5. Будем называть словом любую конечную последовательность букв русского алфавита. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове ВЕКТОР? А в слове ЛИНИЯ?

6. Сколько существует способов распределить между тремя студентами пять книг, если каждый студент может получить любое число книг от 0 до 5?

7. Из скольких элементов можно составить 56 размещений по 2 элемента в каждом?

8. Докажите, что при любом натуральном n справедливо равенство: .

9. План города имеет схему, изображенную на рисунке:

На всех улицах введено одностороннее движение – можно ехать только «вправо» или «вверх». Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки А в точку Б?

10. Докажите, используя комбинаторные рассуждения, что:

а) ;

б) .

10. Докажите формулу бинома Ньютона:

Элементы логики высказываний

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, о котором можно судить, истинно оно или ложно. Например, "" – истинное высказывание, "Земля – планета Солнечной системы" – истинное высказывание, "Существует такое число , что " – ложное высказывание. Предложения: "Который час?", "Сегодня хорошая погода", "" – высказываниями не являются.

Будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита а, b, с… Если высказывание a истинно, будем писать , если же а ложно, будем писать .

Различают высказывания простые и сложные: высказывание считается простым, если никакая его часть не является высказыванием. Сложное высказывание образуется из простых при помощи логических операций. Этим операциям соответствуют в обычной речи такие выражения, как: "и", "или", "если…, то…", "не" и др. Например, высказывание "Рим – столица Франции" – простое, а высказывание "Неверно, что Рим – столица Франции" – сложное.

Обсудим логические операции более подробно.

1. Отрицанием высказывания а называется высказывание, обозначаемое , которое истинно тогда и только тогда, когда a ложно. В обычном языке операции отрицания соответствует частица "не". Например, если a – высказывание "5 делится на 2", то - высказывание "5 не делится на 2" или "неверно, что 5 делится на 2". Действие операции отрицания можно представить в виде следующей таблицы истинности:

Эту таблицу можно принять в качестве определения операции отрицания. Подобными таблицами, называемыми таблицами (или матрицами) истинности, будем пользоваться и при определении других логических операций. Их употребление очень удобно, и они широко применяются во многих разделах математической логики.

2. Конъюнкцией (логическим умножением) высказываний а и b называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда a и b оба истинны, что обозначается в нашем курсе (в литературе используются также обозначения и ab). Операции конъюнкции в обыденном языке соответствует союз "и": например, если a – высказывание "10 делится на 2", а b – высказывание "10 делится на 3", то - высказывание "10 делится на 2 и на 3" или "10 делится на 6". Определим действие операции конъюнкции в виде следующей таблицы истинности:

Упражнение. Соотнесите вышеприведенный пример с этой таблицей.

Третья операция, которая употребляется в логике высказываний, соответствует союзу "или". Отметим то обстоятельство, что союз "или" имеет в русском языке два значения: исключающее и неисключающее "или". Так, высказывание: «Я сегодня вечером буду решать задачи по математической логике или пойду в кино», – подразумевает, что выбирается ровно один из двух вариантов ответа – но никак не оба. Это пример использования исключающего "или": здесь подразумевается, что одно отменяет другое: либо решаю задачи, либо иду в кино. Напротив, высказывание «Чтобы сдать экзамен нужно быть готовым ответить на любой вопрос или вытянуть удачный билет» подразумевает, что не исключается возможность сдать экзамен и в слачае, когда выучен весь материал и вытянут удачный билет. Это пример использования неисключающего "или": здесь подразумевается, что верно хотя бы одно из двух (то есть возможно, что оба). Вводимой ниже логической операции соответствует союз "или" в неисключающем смысле. Итак,

3. Дизъюнкцией высказываний а и b называется высказывание, обозначаемое , которое ложно тогда и только тогда, когда a и b оба ложны. Например, если a – высказывание «"Амкар" выиграл у "Барселоны"», а b – высказывание «"Барселона" выиграла у "Амкара"» то - высказывание «"Амкар" выиграл у "Барселоны" или "Барселона" выиграла у "Амкара"» то есть: «Матч между "Амкаром" и "Барселоной" не закончился вничью». Действие операции дизъюнкции можно представить в виде следующей таблицы истинности:

Упражнение. Соотнесите вышеприведенный пример с этой таблицей.

4. Импликацией высказываний а и b называется высказывание, обозначаемое , которое ложно тогда и только тогда, когда a истинно, а b ложно. Таким образом, таблица истинности для операции импликации имеет вид:

Операции импликации соответствует союз "если…, то…", но необходимо иметь в виду, что в обыденной речи мы как правило воспринимаем этот союз в несколько ином смысле, чем в