Определение коэффициентов уравнения регрессии

1). Уравнение регрессии (7.1) для кодированных значений факторов запишем в виде скалярного произведения двух векторов:

,

где -вектор эффектов , (7.7)

–вектор коэффициентов УР (7.8)

2). На основании метода наименьших квадратов (МНК), коэффициенты уравнения регрессии являются решением нормальной системы уравнений (СЛАУ), которая в матричном виде записывается в следующем виде:

,

или

(7.9)

где – вектор усредненных опытных значений функции отклика размерностиN=9;.

Х – матрица независимых переменных размерности (N*n_b), i–я строка которой представляет собой вектор эффектов вi – ой строке плана эксперимента, - число членов УР (рис.7.2).

Х^Т - транспонированная матрица для матрицы Х размерности (n_b*N)

Рис.7.2

3). Решая слау (7.9), находим вектор коэффициентов ур:

Статистическая оценка значимости коэффициентов УР

Для статистической оценки значимости коэффициентов УР составляется таблица (рис.7.3), в которой сравниваются абсолютные значения коэффициентов с величинами доверительных интервалов разброса коэффициентов.

Рис.7.3.

Задача решается в следующей последовательности.

1). Разброс (или рассеивание) коэффициентов ММ, как рассеивание любой случайной величины, характеризуется дисперсией коэффициентов УР (или среднеквадратичным отклонением), которое вычисляется по формуле

, (7.10)

где сумма квадратов элементов столбцов матрицы независимых переменных (рис.7.2.)

- общая дисперсия эксперимента, вычисляется по формуле (7.5).

2). Величина доверительного интервала разброса коэффициентов вычисляется по формуле:

(7.11)

где - критерий Стьюдента, берется из таблицы 7.1 приложения 7 в зависимости от уровня значимости α =0,05 и числа степеней свободы k₂=N m-1, таким образом t (0,005; 17)=2,11.

3). Коэффициент УР считается статистически значимым, когда его абсолютная величина больше или равна величине доверительного интервала:

(7.12)

Таким образом, коэффициенты b₁₁ и b₂₂ (рис.7.3) являются незначимыми.

Статистическая незначимость коэффициента интерпретируется как отсутствие влияния соответствующего фактора или взаимовлияния отдельных факторов на функцию отклика. Соответствующее слагаемое удаляется из УР и полученное УР имеет вид .

Проверка гипотезы об адекватности ММ (критерий Фишера) – это поиск ответа на вопрос, можно ли полученную ММ использовать для описания исследуемого процесса или необходима более сложная ММ.

Проверка адекватности приведена на рис.7.4 и выполняется в следующей последовательности

1. Рассчитывается опытное значение критерия Фишера F_оп

, (7.13)

где -дисперсия неадекватности определяется по формуле:

, (7.14)

где - число значимых коэффициентов УР.

- расчетные значения функции отклика в точках плана.

- опытные усредненные значения функции отклика в точках плана.

2.) Теоретическое значение критерия Фишера принимается по таблице 7.2 приложения 7 в зависимости от уровня значимости α=0,05 и от значений степеней свободы

3. Опытное значение критерия Фишера F_оп =1,469 сравнивается с теоретическим F_теор. =2,8. В соответствии с выражением (7.15), полученная модель адекватна.

(7.15)

Рис.7.4.

Критерий Фишера, по сути дела отвечает на вопрос, во сколько раз ММ предсказывает хуже по сравнению с опытом.

Переход от кодированных значений параметров к натуральным осуществляется по формулам (7.2).

где

таким образом, в натуральных значениях параметров уравнение регрессии имеет вид:

(7.16)