8.3. Примеры раскрытия статической неопределимости

8.3.1. Расчет многопролетной балки Пример

Для балки, изображенной на рис. 8.7, раскрыть статическую неопределимость, подобрать из условия прочности двутавровое сечение неразрезной стальной балки, определить перемещение сечения в краевом сечении левой консоли и угол поворота на одной из опор.

F = 50 кН, М = 40 кНм, q = 10 кН/м, l₁: l₂: l₃:a = 2:2:1:1, a = 1 м, [] = 210 МПа, Е = 210⁵ МПа.

Решение

1. Определить степень статической неопределимости:

S = 21 + 3  3 = 2.

2. Для заданной балки изобразить несколько основных систем, одну из которых принять для расчета (рис. 8.8).

Для дальнейшего решения выбираем основную систему с врезными шарнирами на промежуточных опорах (рис. 8.9), т.к. определение коэффициентов канонических уравнений значительно упрощается. Во врезных идеальных шарнирах изгибающие моменты равны нулю, т.е. многопролетная балка превращается в отдельные статически определимые балки АС, СD, DK, эпюры изгибающих моментов в которых сводятся к стандартным (справочным).

3. Изобразить эквивалентную систему (см. рис. 8.9) и записать канонические уравнения метода сил:

₁₁х₁ + ₁₂х₂ + _1F = 0,

₂₁х₁ + ₂₂х₂ + _2F = 0.

Первое уравнение – условие равенства нулю взаимного угла поворота поперечных сечений, примыкающих к сечению С, второе – условие равенства нулю взаимного угла поворота поперечных сечений, примыкающих к сечению D.

4. Построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданных нагрузок и единичных силовых факторов (рис. 8.10).

Эпюры изгибающих моментов от распределенной нагрузки q, силы F и сосредоточенного изгибающего момента М приведены на схемах а, б, в рис. 8.10.

На основании принципа независимости действия сил изгибающий момент в любом сечении равен алгебраической сумме изгибающих моментов от каждой из внешних нагрузок.

.

Изгибающие моменты М_F в сечениях:

А М_F = 0;

В М_F = Ра = 50 кНм;

С М_F = 0;

D М_F = 0;

Е М_F = М = 20 кНм.

изгибающие моменты в середине пролетов:

ВС М_F = qа²/2 – Fа/2 = 5  25 = 20 кНм;

CD М_F = qа²/2 = 5 кНм;

DE М_F = qа²/2 – М/2 = 5  20 = 15 кНм.

Fa

Fa/2

Рис. 8.10

По найденным значениям строим эпюру М_F (рис. 8.10, г).

На рис. 8.10, е, з изображены эпюры от единичных силовых факторов ,.

5. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений по способу Верещагина.

;

;

;

рад;

рад.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений могут быть определены и по формуле Симпсона:

;

,

где М_iH, M_jH, M_iC, M_jC, M_iK, M_jK – ординаты эпюр изгибающих моментов от единичных силовых факторов в начале, посередине и в конце участка l; М_FiH, M_FiC, M_FiK – ординаты изгибающих моментов от заданных сил в начале, посередине и на конце участка l_i.

Суммирование распространяется на все участки балки.

По этому методу

;

;

;

рад;

рад.

6. Решить систему канонических уравнений:

,

;

.

7. Построить суммарную эпюру изгибающих моментов, сделать деформационную проверку решения.

Предварительно строятся эпюры изгибающих моментов от моментов Х₁ и Х₂ (рис. 8.11, а, б).

д

Рис. 8.11

Для этого ординаты на эпюре умножаются наХ₁, на эпюре – умножаются наХ₂, т.е. =х₁, а М₂ = х₂.

На основании принципа независимости действия сил определяем в сечениях балки изгибающие моменты и строим суммарную эпюру изгибающего момента (рис. 8.11, в).

М_i = M_Fi + M_1i + M_2i.

Сечение	Значение изгибающего момента
А	М = 0
В	М = 50 кНм
F	М = 20 + 10/3 = 50/3 кНм
С	М = 20/3 кНм
L	М = 5 + 10/3 + 5/3 = 10 кНм
D	М = 10/3 кНм
T	М = 15 + 5/3 = 40/3 кНм
E	М = 40 кНм
K	М = 40 кНм

Для деформационной проверки выберем основную систему (см. рис. 8.8, в). Определим вертикальное перемещение сечения В, которое по условию для балки равно нулю. В выбранной основной системе в сечении В приложим единичную силу и построим от нее эпюру изгибающих моментов(см. рис. 8.11,г).

По формуле Симпсона

Вертикальное перемещение сечения В равно нулю, следовательно, неизвестные моменты Х₁ и Х₂ определены верно.

8. Определить реакции на опорах, построить эпюру поперечных сил.

1) определение реакций на опорах

Проверка:

2) анализ поперечных сил по участкам:

На рис. 8.11, е построена эпюра Q. Определим экстремальное значение изгибающего момента на участке CD, расстояние до которого от сечения Е составляет z₀ (см. рис. 8.11, е):

.

Изгибающий момент в этом сечении z₀.

9. Подобрать из условия прочности стандартный двутавр.

Максимальное напряжение

,

откуда

,

что соответствует двутавру № 22а. Момент сопротивления для этого двутавра составляет – W_Х = 254 см³, J_Х = 2790 см⁴. Максимальное напряжение в этом случае будет равно

10. Определение перемещения в сечении А и угла поворота на опоре В.

Для определения перемещения к выбранной основной системе в сечении А прикладываем единичную силу , и для определения угла поворота в сеченииВ прикладываем единичный изгибающий момент (рис. 8.12,а, в).

Рис. 8.12

Перемножая по правилу Верещагина эпюру изгибающих моментов M_ (см. рис. 8.11, в) с эпюрами изгибающих моментов M₄ и M₅ (рис. 8.12, б, г), определяем соответственно вертикальное перемещение сечения А и угол поворота сечения В.