ных долей единицы, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:

. (7.4)

Приравнивая выражения (7.2) и (7.4), получим дифференциальное уравнение упругой балки (7.5):

. (7.5)

При направлении оси y вверх уравнение (7.5) приобретает вид

. ( 7.6)

Систематизируя рассмотренное выше выражение (7.6), можно записать дифференциальные зависимости:

, ,. (7.7)

Применяя аппарат определенного интегрирования, можно получить универсальные уравнения (7.8), (7.9) позволяющие найти параметры изогнутой оси балки при любых условиях закрепления ее концов, не прибегая к интегрированию дифференциального уравнения:

, (7.8)

. (7.9)

Здесьa_i, b_i, c, d – абcциссы точек приложения сосредоточенных моментов M, сил F и начало равномерно распределенной нагрузки q постоянной интенсивности. В случае действия распределенной нагрузки, выраженной по другому закону, необходимо ввести коррек-тивы в уравнения (7.8), (7.9). M, F, q – внешние силы и моменты (включая опорные реакции), расположенные между данными сечением и началом координат, ,– прогиб и угол поворота в начале координат, называемые начальными параметрами, а сам метод определения перемещений с помощью выражений (7.8), (7.9) называют методом начальных параметров. Начальные параметры определяют из условий закрепления балки. Так, для двухопорной балки (рис. 7.2) а)= 0 приz = 0 и = 0 приz = l; б) = 0 приz = a, = 0 приz = a + l; в) = 0 приz = 0, = 0 приz = 0.

Для определения перемещений в ступенчатой балке можно использовать общие методы, изложенные в § 7.4, 7.5, или применить видоизмененный метод начальных параметров, что вносит некоторые сложности.

Определение перемещений с помощью универсального уравнения должно включать следующие операции:

1. Определение реакций на опорах, анализ поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечения балки.

2. Выбор начала координат, которое принято брать в левой крайней точке рассматриваемой балки.

3. Проведение произвольного сечения на последнем участке, считая от начала координат, расстояние до которого z. Если распределенная нагрузка обрывается на каком-либо участке (рис. 7.3, а), то ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных грузовых условий на продолжаемой длине прикладывают распределенную нагрузку обратного знака (рис. 7.3, б). Дополнительную и компенсирующую нагрузки принято показывать штриховыми линиями.

4. Запись уравнений для линейных (v) и угловых (θ) перемещений применительно к крайнему правому участку балки. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент, приложенные в крайнем сечении справа, в уравнения не входят.

5. Определение из условий закрепления начальных параметров и. Для того чтобы вычислить перемещения какого-либо сечения, необходимо в соответствующие уравнения подставить координату z (только в те составляющие уравнений (7.8), (7.9), которые входят в промежуток между началом координат и рассматриваемым сечением).

7.2. Примеры расчета перемещений в балках методом начальных параметров Пример

Для заданной балки (рис. 7.4, а) подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Определить углы поворота и прогибы в различных сечениях, построить эпюры θ и v; = 160 МПа,E = МПа, M = 40 , F = 80 кН, q = 20 кН/м, l = 4м, a = 1 м.

Решение

1. Определение реакций на опорах, анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения.

, – M – F(a + l) – +

– 40 – ,

, – M –

= –40 –

Проверка:

Анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения:

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на рис. 7.4, в, г.

Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем сечение:

,

По ГОСТ 8239–89 ближайший номер двутавра № 40 с =953 см³, = 19062 см².

2. Выбор начала координат в левом краевом сечении, запись универсальных уравнений для последнего участка (рис. 7.4, б).

,

3. Определение начальных параметров ,

при

, т.е.

при

Окончательные уравнения имеют вид:

4. Определение углов поворотов и перемещений в различных сечениях.

,

,

,

По расчетным данным построены эпюры углов поворотов θ и перемещений v (рис. 7.4 д, е). Закономерности эпюр θ и v вытекают из дифференциальных зависимостей (7.7):

а) на участках, где = 0, касательная к кривой θ =f(z) параллельна оси абсцисс. Там, где на эпюре моментов скачок, на эпюре θ наблюдается излом;

б) если на протяжении какого-либо участка изгибающий момент равен нулю, то эпюра θ прямоугольна, а эпюра v выражена прямой наклонной линией;

в) на участках, где изгибающий момент постоянный, эпюра θ – прямая наклонная линия, эпюра v – парабола второго порядка;

г) вогнутость на криволинейных участках эпюры θ направлена в сторону эпюры Q_y (рис. 7.4 в, д). Вогнутость на криволинейных участках эпюры v направлена в сторону изгибающего момента M_x (рис. 7.4 г, е);

д) в тех сечениях, где θ = 0, на эпюре v наблюдается аналитический максимум или минимум;

е) в сечениях балки, где есть промежуточные шарниры, на эпюре θ будут скачки, на эпюре v – изломы.

7.3. Определение перемещений методом Мора

Практическое применение метода начальных параметров, также как и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии для некоторых систем имеет сложности. В практике обычно возникает необходимость оценки перемещений в конкретных сечениях конструктивных элементов. Эту задачу успешно решил немецкий ученый Отто Христиан Мор в 1874 г. Метод Мора является универсальным методом определения линейных и угловых перемещений, возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах, в арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций и деформаций от сдвига, учитывая лишь перемещения, вызываемые только изгибом и кручением. В этом случае для плоской системы интеграл Мора имеет вид

(7.10)

В случае пространственного нагружения

(7.11)

В случае растяжения или сжатия сохраняется лишь член, содержащий продольную силу:

(7.12)

Для системы, испытывающей только кручение,

(7.13)

В формулах (7.10)–(7.13) ,,– грузовые внутренние силовые факторы наi-м участке: соответственно изгибающий момент, продольная сила и крутящий момент от внешней нагрузки; ,,– единичные силовые факторы – соответственно изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент наi-м участке от силы, равной единице, приложенной в том сечении, где необходимо найти линейное перемещение, или от момента, равного единице, приложенного в сечении определения углового перемещения; – длинаi-го участка; – модуль сдвига,– модуль продольной упругости,,,– площадь, момент инерции (при круглом сечении=где– полярный момент инерции),– осевой момент инерции сечения наi-м участке.

Методика определения перемещений методом Мора может быть сведена к следующим пунктам.

1. Определяют реакции на опорах, разбивают систему на участки, выбирают направление обхода участков, записывают выражения для грузовых силовых факторов на i-х участках: ,,.

2. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где необходимо определить перемещение. При определении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при определении углового перемещения – единичный момент.

3. Определяют реакции на опорах для вспомогательной системы и, соблюдая тот же обход участков, что и в грузовом состоянии, записывают на i-х участках ,,.

4. Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах всей системы. В соответствии с вышеуказанным при расчете плоских балок, рам и арок исходят из зависимости (7.10), при расчете ферм – из (7.12), при кручении – из (7.13).

5. Если искомое перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы; если отрицательный знак – действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.