3.4. Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции.

В этом пункте понятие интеграла Лебега будет обобщено на случай произвольной измеримой функции, т.е. неограниченной функции произвольного знака.

С этой целью измеримую функцию представим в виде разности функций

Построенные функции являются измеримыми, неотрицательными функциями. Следовательно, они интегрируемы по Лебегу.

Определение 3.4.1. Интегралом Лебега от произвольной измеримой функцииназовем число, равное разности интегралов Лебега от функций, если хотя бы один из них конечен.

Очевидно, что последнее определение интеграла Лебега в случае ограниченной функции совпадает с определением 3.1.1, в случае неотрицательной функции последнее определение интеграла Лебега совпадает с определением 3.3.2.

Таким образом, каждой измеримой функции можно поставить в соответствие число – интеграл Лебега. При этом интеграл Лебега может принимать как конечные значения, так и быть равным несобственным числам .

Определение 3.4.2.Функцияназываетсясуммируемойна множестве, если.

Можно показать, что интеграл Лебега от произвольной неограниченной функции обладает всеми свойствами интеграла от ограниченной функции (см. п. 2.4).

В дополнение отметим, что если функция суммируема, то она почти всюду конечна, т.е. . Действительно, достаточно рассуждать о неотрицательной функции. Предположим противное, т.е., тогда последовательностьудовлетворяет неравенствуи потому является бесконечно большой, что противоречит условию суммируемости функции.

Кроме того, функция суммируема тогда и только тогда, когда суммируема функция. Поэтому условиев определении 3.4.2 суммируемой функции можно заменить условием.

В связи с последним замечанием, отметим, что интеграл Римана этим свойством не обладает, достаточно привести пример неограниченной функции, несобственный интеграл которой является сходящимся не абсолютно.

В заключении отметим, что любая интегрируемая по Риману на отрезке функция интегрируема по Лебегу, и эти интегралы совпадают

Упражнения к главе 3.

1. , 2.4.7.

2. Доказать утверждения следствий 2.1.1, 2.4.6.

4. Найти интеграл Лебега на множестве от функции

где - канторово множество.

5. Вычислить интеграл Лебега от функции на отрезке, еслив точках Канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служат верхние полуокружности, опирающиеся на эти интервалы как на диаметры.

3. Суммируемы ли функции ина интервале.

4. Вычислить интеграл Лебега , если

5. При каких значениях параметра функциясуммируема на отрезке?

6. При каких значениях параметра функциясуммируема с квадратом на отрезке?

Глава 4. Пространства суммируемых функций.

4.1. Пространство суммируемых функций.

Пусть- ограниченное измеримое множество пространства. Символомобозначим множество всех функцийсуммируемых по Лебегу на множестве.

В силу линейности операции интегрирования по Лебегу, любая линейная комбинация элементов множества является элементом того же множества, т.е. если

, то для любых.

Множество разобьем на классы эквивалентных функций таким образом, чтобы в один класс попали все функции эквивалентные между собой. Можно показать, что два класса или совпадают или не пересекаются.

Через обозначим линейное пространство представителей классов эквивалентных функций. Переход от множествакобеспечивает появление единственного нулевого элемента в пространстве.

На линейном пространстве определим норму равенством

, (4.1.1)

и проверим справедливость аксиом нормированного пространства

1. Очевидно, что . Если, то, следовательноявляется представителем класса эквивалентных нулю функций.

2. Справедливость второй аксиомы обусловлена свойствами операций интегрирования по Лебегу и модуля.

3. Для произвольных функций и любогосправедливо неравенство

.

Интегрируя обе части неравенства, приходим к выводу, что

.

Справедливость третьей аксиомы нормированного пространства показана.

Таким образом, пространство является нормированным. Кроме того, справедлива

Теорема 4.1.1.Пространство суммируемых функцийявляется банаховым по норме, определенной равенством (4.1.1).