1.2. Мера Лебега ограниченных множеств на числовой прямой.

Мера Лебега числового множества является обобщением понятия длины промежутка числовой оси. При определении меры Лебега будем руководствоваться тем принципом, что введенная мера множества, в частном случае, когда множество является интервалом, должна совпадать с такой характеристикой интервала как длина.

Процедуру определения меры Лебега начнем с определения меры множества, имеющего наиболее простую структуру - открытого множества.

Определение 1.2.1.Мерой интервала называется число , т.е..

Определение 1.2.2. Мерой непустого ограниченного открытого множества называется число, равно сумме длин всех составляющих интервалов множества, т.е.

Согласно теореме 1.1.2, любое замкнутое множество имеет представление, где, а- открытое множество.

Определение 1.2.3.Мерой непустого ограниченного замкнутого множестваназывается число

.

Перейдем к построению меры Лебега произвольного ограниченного множества на прямой. С этой целью определим понятия внешней и внутренней меры множества.

Определение 1.2.4.Внешней мерой ограниченного множества называется точная нижняя грань мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество, т.е.

.

Отметим, что в силу ограниченности множества , внешняя мера множества всегда существует и принимает конечное значение .

Определение 1.2.5. Внутренней мерой ограниченного множества называется точная верхняя грань мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся во множестве, т. е

.

Справедливы

Теорема 1.2.1.Еслии- произвольные открытое и замкнутое множества соответственно, то

и.

Для всякого ограниченного множества справедливо неравенство.

Теорема 1.2.2.Если- ограниченные множества и, тои.

Определение 1.2.6.Если для ограниченного множествасправедливо равенство, то говорят, что множествоизмеримо по Лебегу, а общее значениеиназываетсямерой Лебега множества .

Из определения 1.2.6 и теоремы 1.2.1 следует, что

1. всякое ограниченное открытое множество измеримо и его мера совпадает с мерой, предложенной в определении 1.2.2;

2. всякое ограниченное замкнутое множество измеримо по Лебегу и его мера совпадает с мерой введенной в определении 1.2.3.

1.3. Свойства измеримых по Лебегу множеств.

Введенная мера Лебега ограниченного множества обладает рядом свойств. Сформулируем и докажем некоторые из них.

Теорема 1.3.1.(Регулярность меры)Пусть- ограниченное, измеримое множество. Для любогонайдутся такие замкнутое множествои открытое множество, что справедливы включенияи неравенства

.

Утверждение теоремы непосредственно следует из определения точных верхней и нижней граней числового множества.

Теорема 1.3.2. (Инвариантность меры)Если- измеримое множество и- произвольное число, то множествоизмеримо, причем.

Доказательство.Согласно теореме 1.3.1, для произвольного, найдутся такие открытое множествои замкнутое множество, чтои

.

Множества иявляются замкнутым и открытым соответственно. При этом справедливы включения.

Покажем, что мера открытого множества инвариантна относительно сдвига. Как открытое множество, множествопредставимо в виде. Тогдаи.

Замкнутое множество имеет представление.

Отсюда и.

Как показано выше, мера открытого множества инвариантна относительно сдвига, поэтому

.

В конечном итоге получаем

.

Таким образом, для любого справедливо неравенство

.

Сопоставляя полученное неравенство с неравенством (1.3.1), и учитывая произвольность выбора , делаем вывод, что.

Теорема доказана.

Теорема 1.3.3. (монотонность меры)Если- ограниченные измеримые множества и, то

.

Теорема 1.3.4. (счетная аддитивность) Если ограниченное множествоявляется объединением не более чем счетного числа ограниченных измеримых множеств, и эти множества попарно не пересекаются, то множествоизмеримо, причем

.

Доказательство.Согласно теореме 1.2.1 для произвольного ограниченного множествасправедливо неравенство.

Покажем справедливость неравенства . С этой целью произвольно зафиксируем. В соответствии с утверждением теоремы 1.3.1 для каждого множестванайдется такое открытое множество, что

и.

Можно показать, что если множества попарно не пересекаются, то, в случае непустого попарного пересечения множеств, справедливо неравенство.

Так как , то, по теореме 1.3.3, имеем

.

В силу произвольности выбора , можем заключить.

Аналогично можно показать, что .

В итоге имеем цепь неравенств

из которой следует, что . Иными словами, множествоизмеримо.

Теорема доказана.

Теорема 1.3.5. (Полуаддитивность меры)Для произвольных измеримых множествсправедливо неравенство

.

Доказательство.Введем множества,,.

Множество представимо в виде. При этом множествапопарно не пересекаются и измеримы как разность двух измеримых множеств (см. упражнение 10). Согласно теореме 1.3.4 множествоизмеримо.

Докажем справедливость неравенства . С этой целью произвольно зафиксируем. В соответствии с утверждением теоремы 1.3.1 для каждого множестванайдется такое открытое множество, чтои.

Так как , то в силу монотонности меры (Т. 1.3.3),

.

В силу произвольности выбора имеем.

Теорема доказана.

Теорема 1.3.6.Пусть множестваизмеримы и. Если множествоограничено, то оно измеримо, причем.

Доказательство.Множествопредставим в виде

.

Множества иприне пересекаются, поэтому, в силу теоремы 1.3.4 , имеем

.

Можно показать, что если , то

.

С учетом последнего равенства .

В силу ограниченности множества рядсходится и его частичная сумма равна.

Поэтому .

Теорема доказана.

Как следствие теоремы 1.3.6 получим следующее утверждение.

Теорема 1.3.7.Пусть- измеримые множества и. Если при этом, то.

Доказательство.Множествоизмеримо и потому ограничено, поэтому существует. Для дополнений множествдо отрезкавыполнены все условия предыдущей теоремы. Действительно,измеримы,и.

В силу теоремы 1.3.6 .

С другой стороны .

Отсюда .

Теорема доказана.

Определение 1.3.1.Множество, представимое в виде пересечения или объединения не более чем счетного числа замкнутых множеств называетсяборелевским множеством типа ,а множество представимое в виде пересечения или объединения не более чем счетного числа открытых множеств называетсяборелевским множеством типа.

Справедлива

Теорема 1.3.8. (структура измеримого множества) Для любого ограниченного и измеримого множестванайдутся множестватипа итипа такие, что

и,.

Теорема 1.3.8 утверждает, что всякое ограниченное измеримое множество является множеством типа или с точностью до множества нулевой меры.

Доказательство.Согласно свойству регулярности меры, для произвольного натурального числанайдется такое открытое множество, что. Отсюда.

Множество является борелевским множеством типа идля любого.

В силу монотонности меры, при.

Таким образом, .

Аналогично можно доказать второе утверждение теоремы.

Теорема доказана.