2.2. Последовательности измеримых функций.

Пусть - измеримое множество конечной меры и- последовательность измеримых нафункций.

Справедлива

Теорема 2.2.1.Если для любогосуществует конечный предел, то предельная функцияизмерима.

Определение 2.2.1.Говорят, что последовательностьпочти всюду сходитсяк функции, если.

Отметим, что утверждение теоремы 2.2.1 остается в силе при более слабых ограничениях, а именно если предположить, что почти всюду сходится к почти всюду конечной функции, то предельная функция измерима.

Введем понятие сходимости по мере.

Определение 2.2.2.Говорят, что последовательностьсходится по мерек функциина множестве, если для любого.

Справедлива

Теорема 2.2.2.Если последовательностьсходится почти всюду, то она сходится по мере.

Обратное утверждение справедливо в ослабленном виде.

Теорема 2.2.3.Если последовательность сходится по мере, то из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся почти всюду.

Непрерывную функцию на измеримом множестве определим следующим образом.

Определение 2.2.3.Функцию, определенную на измеримом множествебудем называтьнепрерывной на , если любая точкамножестваудовлетворяет одному из условий

1) - изолированная точка;

2) - предельная точка множестватакая, что для любой последовательности, последовательность.

Справедлива

Теорема 2.2.4.Пусть- множество конечной меры и функцияизмерима на. Тогда для любогосуществует такая непрерывная нафункция, что.

Теорема 2.2.4 утверждает, что любую измеримую функцию можно заменить непрерывной, исключая множество сколь угодно малой меры.

Упражнение к главе 2.

1. Доказать утверждения теорем 2.1.3, 2.1.5, 2.1.9, 2.2.1.

2. Доказать утверждение следствия 2.1.1.

Глава 3. Интеграл Лебега.

3.1. Интеграл Лебега от ограниченной функции.

В этом пункте мы определим понятие интеграла Лебега.

Напомним, что интегралом Римана от функции называется предел интегральной суммы

, при,

при условии, что этот предел не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора промежуточных точек .

Для интегрируемости функции необходимо, чтобы она обладала тем свойством, что смена промежуточной точки не сильно бы меняла значение самой интегральной суммы. Поэтому вполне естественным выглядит тот факт, что непрерывная функция является интегрируемой по Риману.

Простым примером функции не интегрируемой по Риману является функция Дирихле

Если в качестве промежуточных точек будут выбраны рациональные числа, то значение интегральной суммы равно единице, при выборе промежуточных точек иррациональными, интегральная сумма становится равной нулю. Таким образом, предел интегральных сумм для функции Дирихле зависит от выбора промежуточных точек , следовательно, функция Дирихле не интегрируема по Риману.

Перейдем к построению интегральных сумм Лебега.

Пусть - измеримая ограниченная функция. Тогда найдутся такие числа, что для любого, справедливы неравенства

Разделим отрезок точками

на промежутков и рассмотрим множества,.

Множества обладают свойствами:

1) , если;

2) измеримы как пересечение двух измеримых множеств;

3) ;

4) .

Данному разбиению поставим в соответствие число .

Определим верхнюю и нижнюю интегральные суммы Лебега соответственно равенствами

.

Приведем некоторые свойства интегральных сумм Лебега.

Лемма 3.1.1.Если к данному разбиению отрезкадобавить новые точки разбиения, то нижняя сумма не уменьшится, а верхняя не увеличится.

Доказательство. Проведем для частного случая добавления одной точки на-ом интервале. Тогда все слагаемые двух интегральных суммыисовпадают, а слагаемомупервой суммы отвечает два слагаемых второй суммы, причеми. Поэтому. Отсюда.

Аналогично доказывается утверждение для верхней интегральной суммы.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.2.Любая нижняя интегральная сумма не превосходит любой верхней интегральной суммы Лебега.

Доказательство.Пусть двум различным разбиениямIиIIсоответствуют интегральные суммыи. Построим разбиениеIII, добавляя к точкам разбиенияIточки второго разбиения. Согласно лемме 3.1.1 справедлива цепь неравенств

.

Таким образом, .

Лемма доказана.

Далее рассмотрим последовательность разбиений, в которой к каждому предыдущему разбиению добавляются новые точки, таким образом, что . Соответствующая последовательность нижних интегральных сумм Лебегаявляется не убывающей, ограниченной сверху любой верхней суммой Лебега. По теореме Вейерштрасса существует конечный предел нижних интегральных сумм Лебега

.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что существует конечный предел верхних интегральных сумм

.

Покажем, что .

.

Так , то. Иными словами,.

Определение 3.1.1.Общее значение пределов интегральных сумм Лебега называетсяинтегралом Лебегаот функциина множестве. А функциюназываютинтегрируемой по Лебегуна множестве.

Таким образом, доказана

Теорема 3.1.1.Любая измеримая ограниченная функция интегрируема по Лебегу.

В качестве примера рассмотрим процедуру нахождения интеграла Лебега от функции Дирихле. С этой целью построим разбиение отрезка

,.

.

Таким образом, .