1.4. Примеры измеримых и не измеримых подмножеств.

Теорема 1.4.1.Всякое ограниченное счетное множество измеримо и его мера равна нулю.

Однако не всякое ограниченное множество на числовой прямой измеримо.

В качестве примера покажем, что измеримое множество точек отрезка содержит неизмеримые подмножества. С этой целью разобьем все точки отрезкана классы смежности, относя числаив один класс, тогда и только тогда, когда- рациональное число.

Предположим, что два класса смежности иимеют хотя бы один общий элемент. Тогда справедливы представленияи, где. Отсюда. Иными словами,. Отсюда следует, что классы смежностиисовпадают.

Таким образом, классы смежности либо не пересекаются, либо совпадают.

Обозначим .

Покажем, что множество не измеримо.

Обозначим .

Перенумеруем все рациональные точки отрезка . Дляпостроим множество.

Внешняя и внутренняя меры обладают свойством инвариантности. Поэтому

.

Множество содержит отрезок, поэтому

Таким образом, .

С другой стороны, для любого множество, поэтому.

Справедливо неравенство .

Отсюда .

Внутренняя и внешняя меры множества не совпадают, т.е. множество не измеримо.

Приведенный пример можно обобщить на случай произвольного множества ненулевой меры.

Теорема 1.4.2.Всякое множество положительной меры содержит неизмеримые подмножества.

Теорема 1.4.3.Всякое подмножество множества нулевой меры измеримо и имеет меру нуль.

Упражнения к главе 1.

1. Определить меру множества .

2. Доказать утверждение теоремы 1.2.2.

3. Пусть и- ограниченные открытые множества. Доказать, что если, то.

4. Доказать, что если ограниченное, открытое множество является объединением конечного или счетного множества открытых множеств, то множествоизмеримо и.

5. Пусть - произвольное число такое, что. Построим множествос помощью счетного числа шагов следующим образом. На первом шаге удалим из отрезкаинтервалдлины, расположенный симметрично относительно середины отрезка(назовем такой интервал средним интервалом). На втором шаге из оставшихся двух равных отрезков удалим средние интервалы длиныкаждый. Обозначим объединение этих интервалов. На третьем шаге из оставшихся четырех равных отрезков удалим средние интервалы длины. Обозначим объединение этих интервалов.

Обозначим и.

Найти меру множества .

6. Опишем процедуру построения Канторова множества. Построим множество с помощью счетного числа шагов следующим образом. На первом шаге удалим из отрезкаинтервалдлины, расположенный симметрично относительно середины отрезка(назовем такой интервал средним интервалом). На втором шаге из оставшихся двух равных отрезков удалим средние интервалы длиныкаждый. Обозначим объединение этих интервалов. На третьем шаге из оставшихся четырех равных отрезков удалим средние интервалы длины. Обозначим объединение этих интервалов. Обозначим. Множе6ствоназывается Канторовым множеством. Найти меру множества.

7. Доказать утверждение теоремы 1.2.1.

8. Доказать, что если - измеримые множества и, то множествоизмеримо и

.

9. Доказать, что пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств измеримо.

10. Доказать, что разность двух измеримых множеств есть измеримое множество.

11. Доказать, что всякое подмножество множества нулевой меры имеет меру нуль.

12. Может ли равняться нулю мера множества имеющего хотя бы одну внутреннюю точку.

13. Доказать, что любое подмножество множества нулевой меры измеримо и имеет нулевую меру.

14. Пусть и- измеримые множества. Доказать равенство

.

15. Доказать, что любое ограниченное измеримое множество , такое чтосодержит измеримое подмножество меры, где- произвольное заданное положительное число меньше.

16. Привести пример не измеримого множества.

17. Доказать, что множество всех рациональных чисел произвольного отрезка имеет нулевую меру.