Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов

Зависимость измеряемой величины y от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой

(рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

В теория вероятности показано, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает прямая линия, построенная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений у_i от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.

Рис. 1. Метод наименьших квадратов

1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами хиу существует линейная зависимость

. (1)

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины у_i, соответствующих различным значениям величины х_i . Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки у_i будут иметь наименьшие отклонения Δу_i относительно прямой.

Отклонение каждого значения у_i от прямой у = bх будет

. (2)

Составим сумму квадратов отклонений:

(3)

Отклонение (разброс) измеренных значенийу_i от функции у = f(x) будет минимальным, если

(4)

Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает

или (5)

Отсюда определяем искомый коэффициент b.

(6)

2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,

y = a + bx, (7)

коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам

(8)

Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.

Таблица 1

Номер измерения i	1	2	3	4	5
xi	1,0	1,9	3,1	4,0	4,9
yi	1,6	2,5	3,0	3,7	4,6

Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.

Таблица 2

Номер измерения i	xi	yi	xi уi	xi2
1	1,0	1,6	1,60	1,00
2	1,9	2,5	4,75	3,61
3	3,1	3,0	9,30	9,61
4	4,0	3,7	14,80	16,00
5	4,9	4,6	22,54	24,01
Σ	14,9	15,4	52,99	54,23

Рассчитаем коэффициенты а и b

Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722· х .

Для построения отрезка прямой линии найдем две точки, одна

у₁ = 0,928. Вторую точку y₂ получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.

у₂ = 0,928 + 0,722·5 = 4,538 .

На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.

Рис. 2.

Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь. Нанесем на график экспериментальные точки и две точки у₁ и у₂, рассчитанные нами (рис. 2). Для обозначения экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).

Через две «теоретических» точки (y₁и y₂) проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой линии. Все построения следует делать карандашом.