- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ
- •Используемые обозначения
- •4. Изгиб Основные понятия и формулы
- •4.1. Расчет статически определимых балок
- •Пример 1 Условие задачи
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)
- •Пример 1
- •Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 3 Условие задачи
- •Решение
- •4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)
- •Основные определения
- •Аналитический способ определения перемещений
- •Метод Максвелла – Мора определения перемещений
- •Определение перемещений в балках аналитическим способом Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •Определение перемещений в балке методом Максвелла – Мора Пример 1 Условие задачи
- •Решение
- •Пример 2 Условие задачи
- •Решение
- •4.2. Расчет статически определимых рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22) Условие задачи
- •Решение
- •4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
- •Основные определения
- •Примеры решения задач
- •4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление
- •Основные определения
- •Пример расчета трубопровода (задача № 26) Условие задачи
- •Решение
- •4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне
- •Основные определения
- •Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
- •Сопротивление материалов
- •Часть 2
4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 9 (§ 9.1–9.3).
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 9.
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 12 (§ 12.1–12.6).
Основные определения
Статически неопределимые балки и рамы – конструкции, в которых уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции. Будем рассматривать балки и простые рамы, то есть такие конструкции, в которых связями, обеспечивающими геометрическую неизменяемость, являются опорные закрепления (опорные связи). Для обеспечения геометрической неизменяемости балки (рамы) в плоскости достаточно трех связей. Каждая связь запрещает какое-то перемещение. Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними.
Рис. 4.32. К расчету статически неопределимой
балки:
а– заданная статически неопределимая
балка;
б– основная система и условие
совместности деформаций (вариант 1);
в– основная система и условие
совместности деформаций
(вариант 2)
Рис. 4.33. К расчету статически неопределимой
балки с шарниром:
а– заданная статически неопределимая
балка;
б– основная система и условие
совместности деформаций (вариант 1);
в– основная система и условие
совместности деформаций (вариант
2)
Рис. 4.34. К расчету статически неопределимой
рамы:
а– заданная статически неопределимая
рама;
б– основная система и условия
совместности деформаций (вариант 1);
в– основная система и условия
совместности деформаций
(вариант 2)
Для уменьшения в системе уравнений количества неизвестных, которые определяются в первую очередь, при расчете балок и рам чаще всего используют прием, связанный с выбором основной системы. Основная система – это статически определимая конструкция, полученная из заданной системы путем отбрасывания лишних связей. Реакции в отброшенных связях принято называть лишними неизвестными и обозначать Хi. Решение задачи (раскрытие статической неопределимости) сводится сначала к определению лишних неизвестных. Для их нахождения используются уравнения совместности деформаций – это условия кинематической эквивалентности основной и заданной систем, то есть равенства, приравнивающие нулю деформации по направлению отброшенных в основной системе связей. Количество уравнений совместности деформаций равно степени статической неопределимости. Зная величины лишних неизвестных, можно найти из уравнений равновесия остальные реакции. Обсудим подробно, как выбирать основную систему и записывать уравнения совместности деформаций.
На рис. 4.32, б, в – 4.34, б, в показаны по два варианта основных систем, выбранных для заданных систем, изображенных на рис. 4.32, а – 4.34, а. Балка на рис. 4.32, а один раз статически неопределима, для выбора основной системы необходимо отбросить одну связь. В первом варианте основной системы, изображенном на рис. 4.32, б, отброшена подвижная опора в точке В. Вертикальная реакция в отброшенной связи (лишняя неизвестная) обозначена буквой Х. Условие совместности деформаций для этого варианта основной системы: – это условие, приравнивающее нулю вертикальное перемещение (прогиб) в точкеВ балки, так как в заданной системе этот прогиб был невозможен. Во втором варианте на рис. 4.32, в жесткое защемление заменено шарнирно-неподвижной опорой. Лишней неизвестной является реактивный момент. Поскольку в точке А стал возможным поворот сечения, то условие совместности деформаций полагает этот угол поворота равным нулю: .
Для выбора основной системы в дважды статически неопределимой раме на рис. 4.34, а требуется отбросить две связи. На рис. 4.34, б, в лишние неизвестные обозначены Х1 и Х2. В основной системе, показанной на рис. 4.34, б, стали возможны по сравнению с заданной системой горизонтальное перемещение в точке В – и вертикальное перемещение в точкеС – , поэтому эти перемещения необходимо приравнять нулю. Это и есть условия совместности деформаций для варианта основной системы, показанной на рис. 4.34, б:
. (4.26)
Аналогично для основной системы, изображенной на рис. 4.34, в, условия совместности деформаций следующие: .
Рис. 4.35. Взаимный угол поворота
сечений
около шарнира
Для определения лишних неизвестных необходимо найти деформации в условиях совместности деформаций любым способом. Как правило, деформации находят методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Удобно искать деформации отдельно от заданной нагрузки и от лишних неизвестных. Например, условия совместности деформаций (4.26) можно записать так:
; (4.27)
. (4.28)
Таким образом, для дважды статически неопределимой системы получаем систему уравнений из двух уравнений с двумя неизвестными, из которых и находим лишние неизвестные. После определения инаходим остальные неизвестные реакции и строим окончательные эпюры внутренних усилийN, Q и М, используя уравнения статики.
Окончательную эпюру изгибающих моментов для один раз статически неопределимой системы можно проверить, перемножив ее с эпюрой моментов от единичной силы12. Результатом этого перемножения должен быть ноль, то есть
. (4.29)
Условие (4.29) – это условие совместности деформаций, подтверждающее равенство нулю деформаций по направлению лишней неизвестной.