матрицы
.pdf
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Матрица
Матрица A размера m n - это прямоугольная таблица составленная из чисел, где m - число строк n - число столбцов
01
a11 |
a1n |
A = @am1 |
amnA |
Матрица размера n n называется квадратной.
Другой вариант записи
A = |
2a11 |
|
a1n 3 |
|
4am1 |
|
amn5 |
|
|
|
|
Элемент матрицы |
|
|
|
|
|
||
aij - элемент матрицы. i |
- номер строки, j - номер |
||
столбца.
Частные случаи
Вектор строка, при m = 1.
a1; ::: ; an
Вектор столбец, при n = 1
0 1 a1
@ . A
am
Транспонирование матриц
A = |
0a11 |
|
a1n 1 |
AT = |
0a11 |
am11 |
|
@am1 |
amnA |
|
@a1n |
amnA |
|
Строки и столбцы меняются местами.
Умножение матриц
Матрицу A размера m n и матрицу B размера n p можно перемножить и получить матрицу C размера m p . AB = C , где элемент матрицы C
|
P |
имеет вид cij = |
aik bkj . |
|
k=1; ;n |
Определитель
a11 a1n
detA = jAj = =
an1 ann
X
=( 1) (i1; ;in)a1i1 anin
(i1; ;in)
Определитель 2 2
|
|
|
|
|
j A j= |
a11 |
a12 |
|
= a11a22 a12a21 |
a21 |
a22 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель 3 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
A |
j |
= |
a21 a22 |
a23 |
|
= a |
11 |
a |
22 |
a |
33 |
+a |
a a |
31 |
+a |
13 |
a |
21 |
a |
32 |
|
||||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
12 23 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11a23a32 |
|
|
a12a21a33 |
|
a13a22a31 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Миноры и алгебраические дополнения
Минор Mij - определитель, который получается из исходного вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.
Алгебраическое дополнение Aij = ( 1)i+j Mij
Разложение определителя по строке (столбцу)
Разложение по строке с номером i
j |
P |
jAj = |
aij Aij |
|
=1;:::;n |
|
|
Разложение по столбцу с номером j
i |
P |
jAj = |
aij Aij |
|
=1;:::;n |
|
|