Лекция №1 08.09.15

Васильчук Владимир Юрьевич

Правила игры не изменились… Неизвестно – зачет или экзамен…

Будет много контрольных. По ним мы обязаны набрать от 20 очков и больше, тогда мы идем на зачет, где сдаем их.

Функции многих переменных

Функция многих переменных мало чем отличается от функции одной переменной, но число параметров, от которых зависит наша функция, больше.

Графиком функция является трехмерная кривая. Т. е. описывает трехмерную поверхность, если больше переменных - то гиперповерхность.

Мы определили, что такое функция многих переменных, перейдем к дифференциальному счислению.

Определим непрерывность: Функция является непрерывной , или, на языке

Теперь у нас везде вектора, но теперь стремятся не одномерные величины, а вектор.

Осталась проблема корректности определения, ведь

Мы определили непрерывность, самое время определить производную.

, но вектора нельзя поделить

Частной производной функции многих переменных

Когда говорят, что функция дифференцируема по каждой переменной, то имеется ввиду, что она имеет каждую частную производную.

Рис. 2.

Когда переменных n, мы сечем гиперповерхность гиперплоскостями, параллельными, которые параллельны осям…

Для чего это все? Для поиска экстремумов.

Вообще, что такое производная? Производная – коэффициент линейной части приращения функции…

Давайте сначала схитрим, не будем исследовать функцию многих переменных честно, а выберем какое-то направление и посчитаем приращение.

Тогда зависит только от h. Это называется производной функции по направлению.

- дифференциал

- скалярное произведение.

недописал - этот вектор называется градиентом.

Но мы схитрили… Нужно записать тогда приращение функции

- формула Лагранжа для многих переменных.

Из этого следует немедленный вывод: направление градиента смотрит по направлению градиента функции, (используется скалярное произведение, нужно лишь понять, когда она достигает максимального и минимальное значение)

Необходимое условие экстремума:

Пример но это не экстремум,

но это не экстремум. (седло)

Достаточное условие: если вторая производная нулю не равна, тогда два вариата: если вторая производная больше нуля, тогда это минимум, а если вторая производная меньше нуля, тогда это максимум.

Если частных производных n, то частных производных второго порядка

даже если они равны.

Матрица частных производных:

Легко вывести достаточное условие экстремума

Аналог формулы Тейлора для функции многих переменных: многократное дифференцирование и аккуратность вычислений.

+

Если градиент функции в точке обратился в ноль

Матрицей будет матрица, состоящая из вторых производых.

Квадратичная форма называется положительно-определенной, если если Квадратичная форма называется положительно-определенной, если если

Квадратичная форма положительно определенная

на диагонали положительные или отрицательные элементы.

Теорема: любую квадратичную форму можно ортоганальным преобразованием преобразовать к диагональному виду, на диагонла только положительна – положительноорпделенная, только отрицательна – отрицательно-определена.

Положительны определители на диагонали, а также все главные миноры. Критерий положительной определенности матрицы.

называется положительно определенной, если все ее главные миноры положительны .

Называется отрицательно определенной, если ее главные миноры знакочередуются. -+-+-+ начиная с младшего

Если , то минимум, если максимум.

Если определитель равен нулю, то седло… Нужно считать следующие производные.

Условный экстремум

Задача: у нас есть участок неопределнной формы неорпеделенной площади. Есть готовые гибкие секции забора. На этой местности огородить заданным количеством сеток забора участок произвольной формы прямоугольной области наибольшей площади.

Наибольшей площадью будет обладать квадрат со стороной

Метод Лагранжа:

(двух переменных)

Как учесть условие? Составить функцию Лагранжа.

- функция Лагранжа. Ее градиент:

Экстремум функции Лагранжа будет экстремумом в нашей задаче с условием.

Выпишем в явном виде матрицу вторых производных: (матрица только из двух столбцов и трех строк, просто форматирование неправильное…)

Определитель больше нуля – максимум???

№2 Практика 08.09.15

Считаем частные производные

Дана функция

Когда дифференцируем по x, принимаем y и z за постоянные

2-й пример не записал…

Некоторая функция многих переменных. Посчитать частные производные, потом воспользоваться формулой производная-композиция…

Часто бывает, что функция задана неявно… Из которого функцию выразить нельзя.

Например, , нужно узнать производную по

Представим себе, что мы умеем решать это уравнение, и мысленно подставим решение вместо , это значит, что мы превращаем его в верное тождество, а тождество можно дифференцировать

Взяв частную производную

(все в одну сторону и равно нулю)

Ответ:

Ищем экстремумы

Функция двух переменных.

Решаем систему уравнений, приравняв два верхних к нулю

Сократим второе уравнение

Абсциссы точек, «подозрительных» на экстремум

Вторая провизводная

Считаем в первой точке:

есть экстремум, минимум, т. к. оба минора положительны.

седловая точка

Задача

Геометрический смысл гиперболический парабалоид, обрезанный цилиндр, получилась замкнутая поверхность.

Функция Лагранжа:

Приравниваем к нулю…

После преобразований