Часть 2 доказывается аналогично.

Пример: ..

Исследуем сходимость этого ряда, используя признак сравнения. Сравним его с

геом. прогрессия убыв., сх-ся

.

(элементы) исходный ряд сходится

(элементы)

(элементы)

Признак сравнения в предельной форме (через отношения):

Если , тогда оба ряда одновременно сходятся или расходятся.

Вопрос 37. Признак Доламбера.

C>1, ряд расходится

С=1, ?

С<1, ряд сходится

Доказательство:

С<1, тогда в силу определения предела, всегда можно выбрать такое число n, что при всех n>N будет справедливо:

, где Е – мало, Е>0

= С+Е<1

Тогда

–это N-ый остаток ряда и он меньше соотв. членов убыв. геом. прогрессии

остаток ряда сходится сходящийся ряд.

Аналогично для С>1 показываем, что ряд расходится

Пример:

Вопрос №38. Интегральный признак Коши

Составим f(x) - функция действительного аргумента

(xR)

F(x) - монотонно убывающая функция

Ряд сходится или расходится одновременно с

Криволинейная трапеция с ограниченной линией

Y=f(x), x=1, x=n, y=0

S=1

Её S Рассмотрим 2 ступенчатые фигуры:

Первая (входящая) имеет S f(2)+f(3)+..+F(n)=

Вторая (выходящая, бОльшая) имеет S, равную

f(1)+f(2)+…+F(n-1)=, где

Для площадей.

(*)

(**)

1. .

(*) => ряд сходится

2. Y, неограниченна => ряд расходится ч.т.д.

Пример:

1+

f(n)=;f(x)=– убывающая монотонная функция

интеграл рас-ся => ряд расходится.

Вопрос №39. Знакопеременный ряды. Абсолютная сходимость.

Теорема Лейбница.

Если в знакочередующемся ряду абсолютные величины членов ряда убывают, т.е. /U/>/U2/>…>/Un/>… и общий член ряда стремится к нулю (т.е. lim Un=0 при nбескон.), тогда ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше первого члена.

Остаток ряда Rn по абсол. вел. меньше первого из отбрасываемых членов.

Доказательство(взять из тетради).

Достаточный признак сходимости.

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, сходится, то сходится и рассматриваемый ряд.

Доказательство

дан ряд

Рассмотрим ряд

Обозначим его частичную сумму

Обозначим - сумму всех его положительных членов

- сумма всех отрицательных членов

Тогда -и+, где+

Т.к. по условию имеет предел =, аиположительные и возрастающие функции отn

причём

=> они тоже имеют пределы.

=>-приn =>имеет предел, ч.т.д.

Этот признак не является необходимым, т.е. ряд

может расходиться, а соответственно знакопеременный ряд сходится.

Например:

1+расходится

1-сходится

Определение1: Ряд, абсолютные величины которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.

Определение2: Если ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, а соответственный знакопеременный ряд сходится, тогда он называется условно сходящимся.

Например: - условно сходящийся ряд.

Свойства:

1. Если ряд абсолютно сходящийся, тогда его члены можно менять местами, сумма его от этого местами не меняется.

2. Если ряды абсолютно сходятся, их можно перемножать и сумма, полученного ряда равна произведению суммы перемножаемых рядов.

Степенные ряды.

Рассмотрим ряды вида

Или

или

Это ряды по целым степеням x.

Совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости (т.е. ряд сходится в этой области). Это, как правило, интервал.

Суммой ряда является функция от х, т.е.

f(x)=

Пример: ряды Тейлора

Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд

–числа, называемые коэффициентами ряда.

Вопрос №40. Теорема Абеля.

Интервалы радиуса сходимости:

Рассмотрим ряд вида (*)

Теорема: Если степенной ряд (*) сходится при х=, то он сходится и притом абсолютно, прит.е.

Следствие. Если степенной ряд (*) расходится при х=, то он расходится и при

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что для всех х, , степенной ряд сходится, а для всехx, , ряд расходится. Интервал (-R, +R) называется интервалом сходимости ряда.

Способ отыскания интервала сходимости ряда.

Для (*): Обозначим

Пример:

-3<x<3 – это интервал сходимости

Проверим сходимость на краях интервала.

При х=3 ряд примет вид - это гармон. Ряд

Покажем его расходимость по признаку Коши:

f(n)=

=> интеграл расходится => ряд расходящийся

При х = -3 ряд примет вид

Этот ряд не имеет абсолютной сходимости.

Проверим условие сходимости по признаку Лейбница:

Ответ: -3х<3, в (.) х= -3 условная сходимость.

Вопрос №41. Ряды Маклорена для основных функций.