Вопрос29

F(y,y’,y”)=0.

Левая часть не содержит Х ] у играет роль независимой переменной .

Замена .

У’=р(=р(у))

Y’=p’’*p(=(dp/dy)*(dy/dx)) по т.о производной сложной функции

Пример.

2у*у’’+(y’)^2=0 отсутствует х =>замена y’=p,y’=p’*p

2yp’p+p^2=0

2y(dp/dy)*p=-p^2 dy

Y≠0

P^2≠0

2

dp/p =-(dy/2y)

⌠dp/p=-1/2⌠dy/y+c1( c1 стремится к lnc1)

Ln│p│=ln(c/√y)

P=c/√y

Y’= (c/√y)

Dy/dx=(c/√y) │ dx/√y

Y=0?=>y’=0=>подставим в исходное тождество =>y=0-особое решение

Р=0?=>

Y’=0=>y=const=>y’’=0

Подставим в исходное =>тожд.=>y=const-особое решение

⌠√y dy =c1⌠dx+c2

(Y^(3/2))/(3/2)=c1x+c2-общее решение в неявном виде

Y ^(3/2)=3/2c1x+(3/2)*c2

Y=(3/2*c1*x+3/2*c2)^(3/2)-общее решение в явном виде

Вопрос №33. Ряд.

Бесконечным числовым рядом называется выражение

u1+u2+...+un+... ,

содержащее неограниченное число членов, где

u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.   Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.   Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид:

3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

  Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ

  Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.   Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...

Вопрос №34. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сх-ся , то его общий член ->0

обратное неверно

Другой вариант необходимого признака:

Если , то ряд расходится

=>?

Док-во :

Sn=a1+a2+…….+an-1+an=Sn-1+an

Есл сх-ся , то и

Т.к

Вопрос №35. Простейшие свойства сходящихся рядов.

1)Если а1+а2+….+аn+…сходится и имеет сумму S , то ряд образован из произведения всех членов ряда и числа ƛ,

ƛа1+ ƛа2+ ƛа3+…+ ƛаn+…

тоже сх-ся и имеет сумму ƛS

Док-во

Обозначим n- ю частичную сумму 1-го ряда через Sn , а n-ю частичную сумму 2-го ряда через  σn

  σn=ƛa1+ƛa2+……+ƛan=ƛ(a1+a2+….+an)= ƛSn=>ч.т.д

2)Если сх-ся ряды

S1=a1+a2+……+an+…..

S2=b1+b2+……+bn+…..

То ряд образованный сложением этих рядов ((a1+b1)+(a2+b2)+……….+(an+bn)+….) тоже сх-ся , и его сумма равна S1+S2

Cледствие:

(a1-b1)+(a2-b2)+……+(an-bn)+…

Тоже сх-ся и его сумма равна S1-S2

Вопрос №36.Достаточные признаки сходимости.

1.) Признаки сравнения. Будем использовать для сравнения геометрическую прогрессию, которая сходится при <1;

S=

Лемма: Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху , то ряд сходится.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

И

Пусть <(*)

Тогда: 1. Если сходится ряд (2), то сходится ряд (1)

2. Если расходится ряд (1), то расходится ряд (2)

Доказательство:

(частич. суммы)

по условию 1 ряд (2) сходится, поэтому <

(Здесь - это сумма (2) ряда)

Из условия (*) <, т.е. частичные суммы ряда (1) ограничены сверху.

в силу леммы ряд (1) сходится.