23. Дифф.Ур-я. Общие понятия. Теорема существования.
Диф. Ур.-это уравнения, содержашие неизвестную функцию у и её производные.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение, наз. Порядком уравнения.
F(x,y,y',y'',…,
)=0
–общий вид д.у.n-го
порядка
F(x,y,y')=0 – общий вид д.у. 1-го порядка
Например:
y'+
∙y=cosx–
это ур. 1-го порядка
y''+5y'-6y=
–это ур. 2-го порядка.
Общее решение д.у.
Рассм. Ур. 1-го порядка F(x,y,y')=0, где y=y(x)-неизвестная искомая ф-я; х-независимая переменная; F- заданная ф-я 3-х переменных х,у,у'.
Такое
ур-е имеет бесконечно много реш-й (за
счет произвольной постоянной с
Определение: y=y(x,C) наз. Общим решением д.у., если при подстановке её в ур-е получится тождество.
Пример: найти общее реш-е д.у.
y'=5sinx-
y=
(5sinx-
=-5cosx-2
arctgx+C
– общеереш-е.
Начальные условия и задачи Коши.
Частным решением наз. Такое реш-е,которое получается из общего, при каком-либо конкретном значении С.
Как
правило, для выделения частного реш-я
д.у. 1-го порядка, используют условие
y(
)=
Определение:
задача нахождения реш-я д.н. 1-го порядка
y'=f(y,x)
удовлетворяющего условно y(
)=
,
наз. Задачей Коши.
Теорема
Коши: если фун-я f(y,x)
и
непрерывны
в окрестности (∙)
,
то задача Коши
в непрерывной окрестности (∙) М имеет
единственное реш-е.
Пример:
решить задачу Коши y'=
y(0)=3
Сначала
найдем общее реш-е: y=∫
dxy=3tgx+C–
общ.реш.
Подставим начал. Условие и найдем С
Y=3 x=0
3=3tg0+CC=3,подставим С=3 в общ.реш.: y=3tgx+3 – частное реш-е, удовлетвор. Нач.усл.
У(0)=3
Фун-я φ(x) наз. особым решением диф.ур-я F(x,y,y') = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения диф.Ур-я.
24. Ур-я с разделяющими переменными.
P(y)∙dy=
Q(x) dxӏy'
∫P(y)∙dy=∫Q(x) dx
Если интеграл взять не удастся- это наз. Решением в квадратурах.
Пример:
=ctgx∙dx
Начально
условие- y(
)=2
др. форма записи нач. усл.-y∣x=
=2(«палочка»-длинная
и внизу значение «х=П/2», а «=2» на уровне
«у»)
Переменные уже разделены,интегрируем
∫
=∫ctgx∙dx+C
lg∣y∣=ln∣sinx∣+lnC – lnC написано для того,чтобы ответ упростить -∞<lnC<+∞
это общ.реш-е в неявном виде,т.к. у не виделен.
ln∣y∣=ln(C∙∣sinx∣)
∣y∣=C∙∣sinx∣ -это общ.реш-е.
Для того,чтобы найти частное реш-е, подставим нач.усл. и найдем С.
∣2∣=С∙∣sin
∣
С=2. Подставим С=2 в общ.реш-е.
∣y∣=2∙∣sinx∣
25.Однородные ур-я.
Однородная
функция-
Ур-е
у'=f(
)
наз. Ур-ем с однородной правой частью и
решается путем замены.
В результате подстановки получается ур-е с разделяющими перемен.
Пример:y∙y'=2y-x∣:y ,y=0-?
Подставим
х=0 →
-
особое решение или изолированная точка.
у'=2-
– это стандарт. Вид ур-я с однород. Правой
частью.
Замена:
=U;
y=U∙x
;y'=U'x+U
U'x+U=2-
–это ур. С раздел. Перемен., приведем
его к стандарт. Виду
∙x=2-
-U
∙x=
∙x=
∙dx
:x≠0
:прав.часть≠0
-
=
=0
?→U=1
→
=1
y=х
Подставим у=х в исход. y'=x'=1
x∙1-2x-x
x=x - верно→у=х – особое реш-е.
-
∫
dU=
+C
-
=ln∣x∣+C
-
ln∣U-1∣+
=ln∣x∣+C
Обратная замена:
-
ln∣
-1∣+
=ln∣x∣+C–общее
решение в не явном виде
Особое
решение:
и у=х
26.Линейныед.У. 1-го порядка.
y'+p(x)y=q(x)
здесь p(x) и q(x) –известные функ-и
Метод Бернули:нужно свести это ур-е к двум ур-ям с раздел.переменными.
Замена: y=U∙V→y'=U'∙V+U∙V', подставим U'V+UV+p(x)∙UV=q(x)
*U'V+U(V'+p(x)∙V)=q(x)
Пусть Vбудет таким ,чтобы (V'+p(x) ∙V)=0
V'+p(x)V=0-это уравнение с раздел. Переменными →найдем частное реш-е (т.е.С=0) этого ур-я V=V(x)
Вернёмся к *→ U'∙V(x)+U∙0=q(x)
U'∙V(x)=q(x)- это ур-е с раздел. Перем. →U=U(x,C)
Ответ: y=UV=U(x,C)∙V(x)
Пример:
y'-
=x
-это линейное ур-е ; здесь p(x)=
q(x)=x
Заменаy=U∙V; y'=U'V+UV'
U'V+UV'=
=x
U'V+U
(V'-
=x
*
ПустьV'-
=0
–это ур-е с раздел. Перемен.
∫
=3∫
, здесь С=0
ln∣V∣ =3 ln∣x∣
V=
Вернемся к *
U'
+0=x
–это ур-е с раздел. Перем.
=x
dU=
dx
∫dU=∫
dx+C
U=
+C
Ответ:
y=UV=
(
+C)∙
=
+C
27. Д.у. 2-го порядка. Уравнение y''=f(x)
y''=f(x) нужно дважды интегрировать
∣∙dx
y''dx=f(x)dx
∫y''dx=∫f(x)dx+
y'=F(x)+
(здесьF(x)=
∫f(x)dx)
∣∙dx
y'dx=F(x)dx+
∫y'dx=∫F(x)dx+
∫dx+
y=Ф(x)dx+
x+
- общее решение, Ф(x)=
∫F(x)dx
Пример:
y'''=
,
начал. Условиеx=1
y=2
y'=1
y''=1
Умножаем
на dx:y’’’dx=
Интегрируем:
∫y’’’dx=∫
Y’’=
1
Умножаем на dx:
y''dx=-
dx+
dx
∫y''dx=
-∫
dx+
∫dx+
y’=
2
Умножаем на dx:
y’dx=
dx+
xdx+
dx
∫y’dx=∫
dx+
xdx+
dx+
Y=3
lnx+
+
3-
общее реш-е
Чтобы найти частное решение,подставим начал. Усл. В 1,2,3
1→
1=-3+
=4
2→1=3+
+
=
-6
3→3∙ln1+
∙
+
+
=6
Подставим
в 3
→0 :y=3∙ln∣x∣+2
-6x+6-
частное реш-е
28.Д.у. 2-го порядка. F(x,y,y’’)=0
F(x,y,y’’)=0 - левая часть не содержит у
Замена:
y’=p(=
)
y’’=p’(=
)
Получим д.у. 1-го порядка, решим его и сделаем обратную замену p=y’, и найдем y
Пример:
y’’+
=х
– здесь отсутствует у
замена y’=p ;y’’=p’
p’+
=x-
это линейное ур. 1-го порядка
Замена p=U∙V; p’=U’V+UV’
U’V+UV’+
=x
U’V+U(V’+
)=x
(*)
Пусть
V’+
=0
-это ур=е с раздел. Перемен.
=-
∣
∙dx
:V
=
-∫
здесь
С=0
ln∣V∣=-ln∣x∣
ln∣V∣=ln
∣V∣=
Частное решение
V=
V=
(*)→U’∙
+0=x-
это ур-е с раздел. Перемен.
⎡
∙dx
∙x
dU=
dx
∫dU=∫
dx+
U=
p=UV=(
)∙
=
+
т.к.
p=y’ y’=
+
y’=
+
т.к.
y’=
– это ур-е с раздел. Перем.
=
+
∙dx
dy=
dx+
∫dy=∫
dx+∫
+
y=
+
∙ln∣x∣
+
-
общее решение