16. Геометрия приложения опр. Интеграла.Вычисление площадей плоских фигур.

I тип области(область может находиться в любом квадрате)

S:a<x<b

Здесь

y=yнижн(x)-это нижняя граница

y=yверх(x)-это верхняя граница

• yнижн(x)< y< yверх(x)

II тип области

e>x>a

x=x лев(y)-это левая граница

x=x прав(y)-это правая граница

x=x лев(y)<x< x=x прав(y)

17. Вычисление тел вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х)  0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b . Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х Î [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=py^2.

Применяя формулу V = S(x) dx объема тела по площади

параллельных сечений, получаем

V= ydx.

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = (x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c <

d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой V = dx, равен

V =xdy.

18. Вычисление длины дуги

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀ = а, х₁..., х_n = b (х₀ < x₁ < ...< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183).  Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,...,M_n=В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,..., М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,..., ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂... M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+...+ ΔL_n = 

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

 Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи    l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

19.Несобственный интеграл

 Рассмотрим:

1)функцию на бесконечном интервале

2)разрывную функцию

1)Интеграл с бесконечными пределами

Пусть y=y(x)-непрерывна для всех х ∈ [a;+∞]

Тогда можно вычислить интеграл I(A)=

при любом A>0.

Пусть А->∞.

Опр.Несобственным интегралом от ф-ии у(х) в интервале [a;b]

наз. предел интеграла.

при А->∞

=

Если этот предел ∃,то несобственный интеграл наз сходящимся, если -расходящимся.

Аналогично определяется

Условно:

Где F-первообразная.

Рассмотрим бемконечную криволенейную трапецию

Ее площадь м.б. конечной или бесконечной,что покажет сходимость несобственного интеграла.

.

2)Интеграл от разрывных ф-ий

y=y(x) на [a;b] имеет разрыв в (.) с [a;b]

Тогда по свойству опр.интеграла

Т.к. в (.) с ф-ия теряет непрерывность,будет иметь интервалы[a;c-и

[c+,где Ɛ1 и Ɛ2-независят друг от друга.

Тогда

Если эти пределы ,интервал сходится.Если нет-интервал расходится.