- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •1. Растяжение-сжатие
- •Основные понятия и формулы
- •1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
- •Примеры решения задач
- •1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи
- •Решение
- •1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3) Условие задачи
- •Решение
- •1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем Основные определения
- •Примеры решения задач
- •1.2.1. Расчет статически неопределимого составного стержня, работающего на растяжение-сжатие (задача № 4) Условие задачи
- •Решение
- •1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)
- •1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6) Условие задачи
- •Решение
- •2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •2.2. Исследование плоского напряженного
- •Решение
- •2.3. Расчет тонкостенной трубы,
- •Подверженной действию внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента
- •(Задача № 9)
- •Основные формулы
- •Условие задачи
- •Решение
- •3. Кручение
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •3.1. Подбор сечения составного стержня (вала), работающего на кручение (задача № 10) Условие задачи
- •Решение
- •3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11) Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 1
2.3. Расчет тонкостенной трубы,
Подверженной действию внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента
(Задача № 9)
Основные формулы
Рис. 2.21. Тонкостенная
труба под действием внутреннего
давления, продольной
силы и крутящего момента
Напряжения в трубе обозначаем, используя местную декартову систему координат x,y,z: осьxпараллельна оси трубы, осьzнаправлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осьюyслужит продолжение радиусаR.
Сила вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилиеи создает нормальное напряжение (рис. 2.22)
.
Рис. 2.22. Напряжения
в трубе от продольной
силы
Рис. 2.23. Напряжения
в трубе от
внутреннего
давления
Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение в продольных сечениях трубы:
.
Рис. 2.24. Напряжения
в трубе от крутящего
момента
Крутящий момент создает касательные напряжения (рис. 2.24):
.
Они направлены так, чтобы уравновесить пару сил М.
По толщине трубы напряжения распределены равномерно. Остальные напряжения либо в точности равны нулю, либо малы:,.
Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.
Условие задачи
Рис.
2.25. Напряженное
состояние точки
трубы
Требуется:
найти напряжения на гранях элемента, выделенного из трубы;
найти главные напряжения и положения главных площадок;
проверить прочность и определить действительный коэффициент запаса прочности;
показать направление трещины, возникающей при повышении уровня напряженного состояния до критического.
В расчетно-графической работе студенту требуется, кроме того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это задание выполняется так же, как в задаче № 7.
Решение
Начать решение задачи нужно с изображения трубы и действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим направлением стрелок.
Проверим применимость к данной задаче формул для вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как , то труба является тонкостенной. Следовательно, вышеприведенные формулы применимы.
Нормальное напряжение от продольного растяжения силой
положительно.
Нормальное напряжение, вызванное внутренним давлением ,
МПа
также положительно.
Касательное напряжение, вызванное моментом , по модулю равно
.
Принимая во внимание направление крутящего момента (см. рис. 2.24) и учитывая правило знаков для касательного напряжения при плоском напряженном состоянии, получаем .
Теперь изобразим найденное напряженное состояние точки трубы в виде плоского рисунка, учтя правила знаков для напряжений. Для последующей проверки прочности вычислим главные напряжения:
Главные напряжения, пронумерованные должным образом,
,,.
Тангенс угла наклона главной площадки
.
Отсюда два главных угла
.
Соответствие угла главным площадкам (1 или 2) устанавливается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2 показаны на рис. 2.26. Проверку вычисленных значений главных напряжений и главных направлений можно выполнить графически, построив круг напряжений Мора. Построение круга напряжений описано при решении задачи № 7.
Материал является хрупким (чугун), поэтому с целью проверки прочности используем вторую теорию прочности или теорию прочности Мора.
Согласно второй теории прочности
,
значит, прочность обеспечена.
Вычислим действительный коэффициент запаса прочности:
Рис. 2.26. Вероятное
направление трещин
Вероятная плоскость отрыва (трещины) перпендикулярна первому главному направлению, то есть наклонена к продольной оси трубы под углом . Она показана на рис. 2.26, где ось– продольная ось трубы. Направление вероятной плоскости отрыва на рисунке привязано к оси конструкции, значит, может быть показано и на самой конструкции.
Согласно пятой теории прочности (теории Мора)
,
то есть прочность также обеспечена. Вычислим фактический коэффициент запаса прочности:
.