§2. Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины С равна 0:

D(С) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) =С²D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:

D(X - Y) = D(X) + D(Y).

Пример. Найти дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:

Х	0,1	2	10	20
Р	0,4	0,2	0,15	0,25

Решение. Найдем математическое ожидание случайной величиныX:

М(X) = 0,10,4 + 20,2 + 100,15 + 200,25 = 0,04 + 0,4 + 1,5 + 5 = 6,94.

Найдем математическое ожидание случайной величины X²:

М(X²) = 0,1²0,4 + 2²0,2 + 10²0,15 + 20²0,25 = 0,004 + 0,8 + 15 + 100 = 115,804.

Найдем дисперсию:

D(X) =M(X²) – (M(X))² = 115,804 – (6,94)² = 67,6404.

Теорема. Дисперсия числа появление событияАвnнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятностьрпоявления события постоянна, равна

D(X) = nqp.

§3. Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины Хназывают квадратный корень из дисперсии:

размерность (X) совпадает с размерностьюХ.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно:

.

Пример. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁ = 0,4, p₂ = 0,5, p₃ = 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов.

Решение. Вероятность того, что ни один прибор не откажет:

Р(0) = q₁q₂q₃ = 0,60,50,4 = 0,12.

Вероятность того, что один прибор откажет:

Р(1) =p₁q₂q₃ +q₁p₂q₃ +q₁q₂p₃;

Р(1) = 0,40,50,4 + 0,50,60,4 + 0,60,50,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38.

Вероятность того, что два прибора откажут:

P(2) = p₁p₂q₃ + p₁q₂p₃ + q₁p₂p₃;

P(2) = 0,40,50,4 + 0,50,60,4 + 0,50,50,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38

Вероятность того, что три прибора откажут:

P(3) = p₁p₂p₃ = 0,50,60,4 = 0,12.

Проверка:P = 0,12 + 0,38 + 0,38 + 0,12 = 1.

Запишем закон распределения числа отказавших приборов:

Х	0	1	2	3
Р	0,12	0,38	0,38	0,12

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

М(X) = 0 + 0,38 + 0,76 + 0,36 = 1,5.

Найдем математическое ожидание случайной величины X²:

М(X²) = 0 + 0,38 + 1,52 + 1,08 = 2,98.

Найдем дисперсию:

D(X) =M(X²) - (M(X))² = 2,98 – 2,25 = 0,73.

Глава 7. Функция распределения вероятностей случайной величины

§1. Определение функции распределения

Функцией распределенияназывают функциюF(х), определяющую вероятность того, что случайная величинаХв результате испытания примет значение, меньшеx, т.е.

F(x) = P(X < x).

Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точкиx.

Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция".

Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.