§4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Найдем вероятность того, что отклонения относительной частоты m/nот постоянной вероятностиpпо абсолютной величине не превышает заданного числа> 0, т.е. найдем вероятность того, что осуществляется неравенство:.

Раскроем модуль или. Умножим эти неравенства на множитель:.

Используя теорему Лапласа, получим:

.

Пример. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний p= 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.

Решение.  = 0,001, p = 0,75,

.

Пример. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p= 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

Решение.

, ,. По таблице находим

, ,n1764 раза.

Глава 4. Случайные величины

§ 1. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайнойназывают величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, неизвестное заранее какое именно.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами X,Y,Z, и их возможные значения – соответствующими строчным буквами –x,y,z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Пример.

1). Число появлений герба при трех бросаниях монеты: возможно 0; 1; 2; 3

2). Число самолетов, сбитых в воздушном бою: 0; 1; 2; …. N, гдеN– общее число самолетов.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Пример.

1) Абсцисса точки попадания при выстреле.

2) Время безотказной работы лампы.

§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величиныназывают соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Способы задания: таблично, аналитически, графически.

1).	X	x1	x2	…	xn	- возможные значения
	P	p1	p2	…	pn	- вероятность возможных значений

События x1,x2, …,xn- образуют полную группу, т.е.р1 +р2 + … +рn= 1.

Такую таблицу называют рядом распределенияслучайной величиныX.

2). Графическое изображение.

Для наглядности точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Пример. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

Решение. Вероятность появления шестерки при одном бросании p= 1/6, вероятность непоявления шестеркиq= 1 –p= 5/6.

При трех бросаниях игральной кости шестерка может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Xтаковы:x₁= 0,x₂= 1, x₃= 2, x₄= 3. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:.

, ,

, .

Искомый закон распределения:

X	x1	x2	x2	x3
P	125/216	75/216	15/216	1/216