Глава. 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины

§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Xзадана законом распределения вероятностей:

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Тогда математическое ожидание M(X) определяется равенством

M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … +x_np_n.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная величина (постоянная).

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

.

На числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Поэтому его часто называют центром распределения.

X	x1		x2	…		xn
Р	p1		p2	…		pn
Р		p1			p2		…		pn

§ 2. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) =С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) =С·М(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х·Y) =М(Х)·М(Y).

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х +Y) =М(Х) +М(Y).

Теорема. Математическое ожиданиеМ(Х) числа появлений событияАвn независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытания при условии, что в каждом испытании вероятность появления событияА равнар:

М(Х) =р·n.

Пример. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Решение. Число независимых испытаний n= 20. В каждом испытании вероятность выигрышар= 0,3. Искомая математическое ожидание

М(Х) = 20·0,3 = 6.

Пример. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через Xи на второй – черезY. Запишем закон распределения числа очков для первой игральной кости

X	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

М(Х) =·(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) == 3,5.

Очевидно, что и M(Y) = 3,5.

Искомое математическое ожидание

М(Х1·Х2) =М(Х1) ·М(Х2) = 3,5·3,5 = 12,25.

Глава 6. Дисперсия дискретной случайной величины

§1. Отклонение случайной величины от её математического ожидания. Дисперсия дискретной, случайной величины

Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Пусть закон распределения случайной величины X известен:

Рассмотрим отклонение случайной величины Хот её математического ожиданияХ -М(X). Это отклонение имеет следующий закон распределения:

X–M(X)

x1 –M(X)

x2 –M(X)

…

xn –M(X)

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М (Х – М(X)) = 0.

Поскольку математическое ожидание отклонения равно нулю, то для определения степени рассеивания случайной величины вокруг её математического ожидания выделяют среднее значение квадрата отклонения.

Дисперсией(рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) =M[(x-M(X))²].

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

D(X) =M(X²) - (M(X))².