Ответ: вероятнее всего студент принадлежит второй группе. Глава 3. Повторение испытаний

§1. Формула Бернулли

Если происходит несколько испытаний, причем вероятность события Aв каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называютнезависимыми относительно события A.

Пусть производиться nнезависимых испытаний, в каждом из которых событиеA может появиться либо не появиться. Вероятность события в каждом испытании одна и та же, равнаяp. Вероятность ненаступления события в каждом испытанииq= 1 –p.

Вычислим вероятность P_n(k) того, что приnиспытаниях событиеAосуществляется ровноk раз и не осуществляетсяn–k раз по формуле Бернулли:

,

где p^k q^{n - k}– умножение вероятностей независимых событий;– столько можно составить сочетаний изn элементов иk элементов.

Пример. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Решение.

1) ;

2) ;

3) .

§2. Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. формула требует выполнения действий над очень большими числами.

Пример. Если p= 0,1,q= 0,9,n= 40,k= 20, то вероятность того, что приnиспытаниях событиеAосуществляется ровноk раз и не осуществляетсяn–k раз. При вычислении можно пользоваться специальными таблицами логарифмов факториалов, но из-за округлений в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа.Если вероятностьp появления событияAв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятностьP_n(k) того, что событиеAпоявиться вnиспытаниях ровноkраз, приближенно равна (тем точнее, чем большеn) значению функции:

, при, где.

Функция (x) четная:(–x) = (x).

Пример. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию k = 104, n = 400, p = 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8. Тогда

,

.

§3. Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если вероятностьpнаступления событияAв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятностьP_n(k₁,k₂) того, что событиеA появится вn испытаниях отk₁доk₂раз (k₁mk₂), приближенно равна определенному интегралу:

, где ;.

Интегральную теорему Лапласа иногда записывают в форме

.

При решении используют таблицу для функции .

= Ф(x₂) –Ф(x₁), где;.

Функция Ф(x) нечетная:Ф(–x) = –Ф(x).

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Решение.

а) По условию k₁= 70,k₂= 80. Тогда

, ,

.

Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2. В таблице даны значения Ф(1,15) = 0,3749 иФ(1,16) = 0,3770. В качестве ответа можно взять любое из этих значений или их среднеарифметическое:

P₁₀₀(70;80)2Ф(1,1547)2(Ф(1,15) + Ф(1,16))/2 = 0,7519.

б) По условию k₁= 0,k₂= 70. Тогда

, x₂–1,1547,

P₁₀₀(0;70)Ф(x₂) –Ф(x₁) =Ф(–1,1547) –Ф(–17,32) =Ф(17,32) –Ф(1,1547).

Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2:

P₁₀₀(0;70)0,5 – 0,37595 = 0,12405.