ИДЗ №6 по частным производным (вар. 1-16)

ВАРИАНТ 1

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции при

3. Найти производную , если

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением Найти

6. Найти частные производные , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линией .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке А(1; -2; 5).

9. Найти градиент функции в точке М₀(2; 1; 2). Найти производную этой функции в точке М₀ в направлении вектора , где А(5; 5; 15).

ВАРИАНТ 2

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением Найти

6. Найти частные производные , если . Показать, что .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке А(4; 3; 4).

9. Найти градиент функции в точке А(2; 1). Найти производную этой функции в точке А в направлении , идущем из этой точки в начало координат.

ВАРИАНТ 3

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частные производные , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке А(1; 0; 1).

9. Найти градиент функции в точке В(1; 1). Найти производную этой функции в точке В в направлении вектора , где О(0; 0; 0) – начало координат.

ВАРИАНТ 4

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции при

3. Найти производную , если

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой .

9. Найти градиент функции в точке Р(5; 3). Найти производную этой функции в точке Р в направлении, составляющем с осью OX угол .

ВАРИАНТ 5

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции при

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если , где .

5. Функция задана уравнением Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(2; -1; 1).

9. Найти градиент функции в точке Р(2; 1). Найти производную этой функции в точке Р в направлении градиента функции в этой точке.

ВАРИАНТ 6

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(3; 4; 12).

9. Найти градиент функции в точке О(0; 0; 0). Найти производную этой функции в точке О в направлении вектора .

ВАРИАНТ 7

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, соответствующей .

9. Найти градиент функции в точке М(1; 2). Найти производную этой функции в точке М в направлении вектора .

ВАРИАНТ 8

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением Найти .

6. Найти частные производные , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М₀(x₀; y₀; z₀).

9. Найти градиент функции в точке Р(1; 2). Найти производную этой функции в точке Р в направлении, составляющем с осью OX угол .

ВАРИАНТ 9

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции при

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если , где .

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(0; 2; 2).

9. Найти градиент функции в точке Р(1; 1). Найти производную этой функции в точке Р в направлении биссектрисы второго координатного угла.

ВАРИАНТ 10

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции при .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частные производные , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке А(3; 4; 5) .

9. Найти градиент функции в точке М(1; 2;-1). Найти производную этой функции в точке М в направлении , составляющем одинаковые острые углы со всеми координатными осями.

ВАРИАНТ 11

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(-2; 0; 1).

9. Найти градиент функции в точке М₀(2; 1; 3). Найти производную этой функции в точке М₀ в направлении вектора , где N(5; 5; 15).

ВАРИАНТ 12

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частные производные , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности эллипсоида в точке М₀(x₀; y₀; z₀) на нем.

9. Найти градиент функции в точке М(2; 1). Найти производную этой функции в точке М в направлении вектора , где Р(5; 5).

ВАРИАНТ 13

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частную производную , если .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности эллипсоида в точке .

9. Найти градиент функции в точке М(5; 3). Найти производную этой функции в точке М в направлении биссектрисы первого координатного угла.

ВАРИАНТ 14

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции при .

3. Найти производную , если , где .

4. Найти частные производные , если

5. Функция задана уравнением . Найти .

6. Найти частные производные , если . Показать, что .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями .

8. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке А(a; b; c) .

9. Найти градиент функции в точке М(3; 0; 4). Найти производную этой функции в точке М в направлении градиента функции в этой точке.