Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10. Линейная алгебра

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

285.8 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

На http://technofile.ru – чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции.

Материалы студентам технических вузов!

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§10.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Линейное пространство. Базис. Координаты.

2.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3.Линейный оператор. Матрица оператора.

4.Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

5.Действия над линейными операторами.

6.Собственные векторы и собственные значения.

7.Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.

8.Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9.Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10.Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

§10.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L пространства R3 , если L задано

уравнением x1 2x2 x3 0.

2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3. Найти	координаты	многочлена			P3 x a0 a1x a2x2 a3x3			в	базисе
1, x 1 , x 1 2 , x 1 3 .
4. Линейный оператор A в базисе e1			,	e2,		e3	имеет матрицу
			1		0	1
				2	1
				2	1	2
				1	1	2
				1	1	2
Найти матрицу этого же оператора в базисе e1			,	e1 e2,			e1 e2 e3 .

5.Найти ядро и область значений оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6.Пусть x и y — собственные векторы оператора A, относящиеся к различным собственным

значениям. Доказать, что вектор z x y, 0, 0 не является собственным вектором

оператора A.

7.	Пусть x x1,	x2, x3 ,	Ax 1x1,	2x2,	3x3 . Будет ли оператор A
самосопряженным?
8.	Доказать, что если матрица оператора A — симметрическая в некотором базисе, то она является
симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).

§ 10.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число ?

1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа;

сумма a b, произведение a.

1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a b, произведение a.

1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;

сумма a b, произведение a.

1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;

сумма a b, произведение a.

1.5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма a b, произведение a .

1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x, y, z;

сумма a b, произведение a.

1.7. Множество всех функций a f t , b g t , принимающих положительные значения;

сумма

f t g t , произведение f t .

1.8. Множество всех непрерывных функций a f

, b

, заданных на

;

сумма

f t g t , произведение f t .

1.9. Множество всех четных функций a f

, заданных на

;

сумма

f t g t , произведение f t .

1.10. Множество всех нечетных функций a f

, b g

, заданных на

;

сумма

f t g t , произведение f t

1.11. Множество всех линейных функций a f x1, x2 , b g x1, x2 ;

сумма f x1, x2 g x1, x2 , произведение f x1, x2 .

1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной x;

сумма a b, произведение a.

1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных x, y;

сумма a b, произведение a.

1.14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел

a x1,

x2,

...,

xn ,

b y1,

y2, ...,

yn ;

сумма x1 y1,

x2 y2,

...,

xn yn ,

произведение x1,

x2, ...,

xn .

1.15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел

a x1,

x2,

...,

xn ,

b y1,

y2, ...,

yn ;

сумма x1y1,

x2 y2, ...,

xn yn ,

произведение x1,

x2,

...,

xn .

1.16. Множество всех сходящихся последовательностей a un , b n ;

сумма un n , произведение un .

1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной n;

сумма a b, произведение a.

1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени n;

сумма a b, произведение a.

1.19. Множество всех диагональных матриц

aik

bik

i, k 1,

2, ...,

сумма aik bik , произведение aik .

1.20. Множество всех невырожденных матриц

aik

bik

i, k 1, 2, ..., n;

сумма aik bik , произведение aik .

1.21. Множество всех квадратных матриц

aik

bik

i, k 1,

...,

сумма

aik bik

, произведение

aik

1.22. Множество всех диагональных матриц a

aik

bik

размера n n;

сумма

aik

bik

, произведение

aik

1.23. Множество всех квадратных матриц

aik

bik

, i 1, 2,

..., m;

k 1,

2, ..., n;

сумма aik bik , произведение aik .

1.24. Множество всех симметричных матриц

aik

aki ,

bik

bki ,

i, k 1, 2, ..., n;

сумма aik bik , произведение aik .

1.25. Множество всех целых чисел;

сумма a b, произведение a . 1.26. Множество всех действительных чисел;

сумма a b, произведение a.

1.27. Множество всех положительных чисел;

сумма a b, произведение a .

1.28. Множество всех отрицательных чисел;

сумма a b , произведение a . 1.29. Множество всех действительных чисел;

сумма a b, произведение

1.30. Множество всех дифференцируемых функций a f t , b g t ;

сумма f t g t , произведение f t .

1.31. Множество всех дифференцируемых функций a f t , b g t ;

сумма f t g t , произведение									f t .
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
2.1. a 1,		4,	6 ,		b 1,		1,		1 ,		c 1,		1,		3 .
2.2. sinx,	cosx,			tgx на			2,		2	.
2.3. a 2,		3,		1 ,		b 3,	1,		5 ,			c 1,		4,		3 .
2.4. 2, sinx, sin2 x,					cos2 x на , + .
2.5. a 5,		4,	3 ,		b 3,		3,		2 ,		c 8,		1,		3 .
2.6. 1, x, sinx на , + .
2.7. a 1,	1,		1 ,		b 0, 1,			1 ,		c 0,			0,	1 .
2.8. ex, e2x,		e3x		на , + .
2.9. a 1,		1,		2 ,	b 1,			1,	1 ,			c 2,			1,	1 .
2.10. x, x2,		1 x 2			на , + .
2.11. a 1,		2,		3 ,	b 4,		5,		6 ,		c 7, 8,				9 .
2.12. 1, x,	x2,		1 x 2			на , + .
2.13. a 1,		1,	1 ,		b 1,		2,	3 ,			c 1,		3,		6 .
2.14. cosx,	sinx,			sin2x на				2,			2 .

2.15. a 3,	4,	5 ,		b 8,		7,		2 ,				c 2,			1,		8 .
2.16. ex, e x,	e2x на , + .
2.17. a 3,	2, 4 ,			b 4,		1,		2 ,				c 5,		2,		3 .
2.18. 1 x x2, 1+2x x2, 1+3x x2									на , + .
2.19. a 0,	1,	1 ,	b 1,		0,		1 ,		c 1, 1,					0 .
2.20. 1, ex, shx на , + .
2.21. a 5,	6,	1 ,		b 3,		5,			2 ,			c 2,			1,		3 .
2.22. 1 x, x,	1 на 0, 1 .
2.23. a 7,	1, 3 ,			b 2,		2,		4 ,				c 3,		3,			5 .
2.24. 1, tgx,	ctgx на 0, 2				.
2.25. a 1,	2,	3 ,		b 6,	5,		9 ,			c 7,			8,		9 .
2.26. x, 1+x,	1 x 2			на , + .
2.27. a 2,	1,	0 ,		b 5,		0,		3 ,			c 3,		4,		3 .
2.28. ex, xex, x2 ex на				, +		.
2.29. a 2,	0,	2 ,		b 1,		1,		0 ,			c 0,		1,			2 .
2.30. ex, shx, chx на , + .
2.31. a 2,	1,	5 ,		b 4,		3,			0 ,			c 0,		1,			10 .

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

3x x 8x 2x x 0,							7x 2x x 2x 2x 0,
	1	2	3	4	5			1	2	3		4	5
3.1. 2x1 2x2			3x3	7x4	2x5 0,		3.2. x1	3x2		x3	x4 x5		0,
x 11x 12x 34x 5x 0.							2x 5x 2x x x 0.
1		2		3	4	5		1	2		3	4	5
x x 10x x x 0,							6x 9x 21x 3x 12x 0,
1		2	3	4	5	0,		1	2		3	4	5
3.3. 5x1 x2 8x3 2x4 2x5						0,	3.4. 4x1 6x2 14x3					2x4 8x5 0,
3x 3x 12x 4x 4x 0.							2x 3x 7x x 4x 0.
	1	2		3	4	5		1	2		3	4	5
2x x 2x x x 0,							5x 2x 3x 4x x 0,
	1	2	3	4	5	0,		1	2		3	4	5
3.5. x1	10x2		3x3	2x4	x5	0,	3.6. x1	4x2	3x3		2x4 5x5 0,
4x 19x 4x 5x x 0.							6x 2x				2x 6x 0.
	1		2	3	4	5		1	2			4	5

12x x 7x 11x x 0,						x 2x x 4x x 0,
	1	2	3	4	5		1	2	3	4	5
3.7. 24x1 2x2 14x3				22x4	2x5 0,	3.8. 2x1 x2			3x3	x4	5x5 0,
x x x x x 0.						x 3x x 6x x 0.
	1	2	3 4	5			1	2	3	4	5

											3		x				5		x		5		x x 0,
													x						x				x x 0,
2x1 x2 3x3 x4 x5 0,											2			1	4				2	7					3		4
2x1 x2 3x3 x4 x5 0,											2				4					7							2
											3			x1	1				x2	2			x3				2	x4
3.9. x1	5x2 x3			x4 2x5 0,						3.10.																				0,
3.9. x1	5x2 x3			x4 2x5 0,						3.10.																				0,
x 16x 6x 4x 7x 0.											5				2					7							5
1		2		3		4	5				1	x				1		x				2		x				2	x 0.
												x						x						x					x 0.
											5			1	6				2	21					3		15			4
											5				6					21							15
8x x x x 2x 0,										x 3x x 12x																	x 0,
	1	2		3	4		5				1				2					3						4		5
3.11. 3x1		3x2	2x3		x4 3x5 0,					3.12. 2x1 2x2 x3 10x4																		x5 0,
5x 4x 3x 2x 5x 0.										3x x												2x								0.
	1	2		3		4	5							1	2										4
7x 14x 3x x x 0,									x 2x 3x x x 0,
	1		2		3	4	5			1	2				3					4					5		0,
3.13. x1 2x2 x3 3x4						7x5 0,		3.14.	2x1 2x2 5x3 3x4 x5																		0,
5x 10x x 5x 13x 0.									3x 2x 3x 2x x 0.
	1		2	3		4	5			1				2					3			4				5
x x x x x 0,										2x x 3x x x 0,
	1	2	3		4	5								1	2					3					4			5		0,
3.15. 2x1 x2 2x3 x4						2x5 0,				3.16. 3x1 x2									2x3 x4 2x5											0,
x 2x 5x 2x x 0.										x 2x 5x 2x 3x 0.
	1	2		3		4	5				1				2					3						4				5
x 2x 3x 10x x 0,										2x x x 7x 5x 0,
	1	2		3		4	5							1	2					3					4			5
3.17. x1 2x2 3x3 10x4							x5 0,			3.18. x1				2x2					3x3			5x4					7x5 0,
x 6x 9x 30x 3x 0.										3x x 2x 2x 2x 0.
	1	2		3		4	5							1	2					3						4				5
2x 2x 3x 7x 2x 0,										3x x 8x 2x x 0,
	1	2		3		4	5	0,						1	2					3						4		5
3.19. x1 11x2 12x3 34x4 5x5								0,		3.20. x1				11x2 12x3											34x4 5x5 0,
x 5x 2x 16x 3x 0.										x 5x 2x 16x 3x 0.
	1	2		3		4	5				1				2					3							4			5
x 3x 5x 9x x 0,									5x 2x x 3x 4x 0,
	1	2		3		4	5			1				2	3					4						5	0,
3.21. 2x1 2x2 3x3					7x4		2x5 0, 3.22.		3x1 x2 2x3										3x4			5x5					0,
x 5x 2x 16x 3x 0.									6x 3x 2x 4x 7x 0.
	1	2		3		4	5			1				2					3			4					5
3x 2x 2x x 4x 0,										6x 3x 2x 4x 7x 0,
	1	2		3		4	5							1					2			3					4			5
3.23. 7x1		5x2	3x3		2x4		x5 0,			3.24. 7x1 4x2 3x3 2x4																		4x5 0,
x x x						7x 0.				x x x 2x 3x 0.
	1	2	3				5				1				2				3						4			5

3x 5x 2x 4x 0,								x x 3x 2x 3x 0,
		1		2	3	4			1	2		3	4	5	0,
3.25. 7x1 4x2 x3 3x4						0,		3.26. 2x1 2x2 4x3 x4						3x5	0,
5x 7x 4x 6x 0.								x x 5x 5x 6x 0.
		1		2	3	4			1	2		3	4	5
x 2x 3x 2x x 0,										6x 3x 2x 3x 4x 0,
	1		2	3	4		5				1		2	3	4	5
3.27. x1		2x2 7x3 4x4				x5 0,			3.28. 4x1 2x2 x3					2x4	3x5	0,
x 2x 11x 6x x 0.										2x x x x x 0.
	1		2		3	4	5				1	2	3	4	5
3x 2x 4x x 2x 0,										x x x 2x x 0,
		1		2	3 4		5			1		2	3	4	5
3.29. 3x1 2x2 2x3 x4							0,		3.30. x1 2x2				3x3	x4 x5 0,
3x 2x 16x x 6x 0.										2x x 2x 3x					0.
		1		2	3	4	5				1	2	3	4
x x x 2x x 0,
	1	2		3	4	5	0,
3.31. x1		x2 2x3 x4 2x5					0,
x 3x 4x 3x							0.
	1		2	3	4

Задача 4. Найти координаты вектора

e1, e2,

e3 .

e1 e1 e2 2e3,

e2 2e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 6,

3 .

e1 e1 e2 4e3,

e2 4 3 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1, 3,

6 .

e1 e1 e2 43 e3,

e2 4e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x6, 3, 1 .

x		,		,		, если он задан в базисе
	в базисе e1		e2		e3

e1 e1 e2 3e3,

e2 3 2 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

2, 4 .

e1 e1 e2 32 e3,

e2 3e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 2,

4, 1 .

e1 e1 e2 5e3,

e2 5 4 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x1, 4, 8 .

e1 e1 e2 54 e3,

e2 5e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 8,

4, 1 .

e1 e1 e2 65 e3,

e2 6e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 10,

5, 1 .

e1 e1 e2 76 e3,

e2 7e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 12,

6, 1 .

e1 e1 e2 e3,

e2 1 2 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 3,

2, 4 .

e1 e1 e2 2e3,

e2 2 3 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 2,

6, 3 .

e1 e1 e2 3e3,

e2 3 4 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

8 .

e1 e1 e2 4e3,

e2 4 5 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x7, 5, 10 .

e1 e1 e2 6e3,

e2 6 5 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 2,

5, 10 .

e1 e1 e2 7e3,

e2 7 6 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

6, 12 .

e1 e1 e2 8e3,

e2 8 7 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

7, 14 .

e1 e1 e2 12 e3,

e2 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 2,

4, 3 .

e1 e1 e2 23 e3,

e2 2e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 12, 3,

1 .

e1 e1 e2 3e3,

e2 3 4 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

4, 8 .

e1 e1 e2 45 e3,

e2 4e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x5, 5, 4 .

e1 e1 e2 5e3,

e2 5 6 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

6 .

e1 e1 e2 6e3,

e2 6 7 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1, 7,

7 .

e1 e1 e2 7e3,

e2 7 8 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 3,

8 .

e1 e1 e2 89 e3,

e2 8e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 9, 9,

2 .

e1 e1 e2 910 e3,

e2 9e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 10, 10,

7 .

e1 e1 e2 11e3,

e2 1110 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x1, 10, 10 .

e1 e1 e2 56 e3,

e2 5e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 6, 6,

2 .

e1 e1 e2 67 e3,

e2 6e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 7, 7,

2 .

e1 e1 e2 8e3,

e2 8 9 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 1,

9 .

e1 e1 e2 9e3,

e2 9 10 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x 3,

10,

10 .

e1 e1 e2 10e3,

e2 10 9 e1 e2,

e3 e1 e2 e3,

x1, 9, 18 .

Задача 5. Пусть x x1,

x2, x3 . Являются ли линейными следующие преобразования:


Ax 6x1 5x2 4x3,				3x1 2x2 x3,					x2 2x3 ,
5.1. Bx 6 5x2 4x3,			3x1		2x2 x3,			x2 2 ,
Cx x34,	3x1 2x2 x3,					x2 2x3 .
Ax 5x1 4x2 3x3,				2x1 x2,			x2 2 ,
5.2. Bx 5x1	4x2	3x3,		0,		x24 2x3 ,
Cx 5x1 4x2 3x3,				2x1 x2,			x2 2x3 .
Ax 4x1 3x2 2x3, x1,						x1 2x24 3x3 ,
5.3. Bx 4x1	3x2	2x3,		x1,		x1 2x2		3x3 ,
Cx 4x1 3x2 2x3, x1,						x1 2x2 3 .
Ax 3x1 2x2 x3, x3,						2x1 3x2 4x3 ,
5.4. Bx 3x1	2x2	x3,	1,		2x1 3x2 4 ,
Cx 3x1 2x2 x3, x3,						2x14 3x2 4x3 .
Ax x1,	x1 2x2 3,				4x1 5x2 6 ,
5.5. Bx x1,	x1 2x2 3x3,					4x14 5x2		6x3 ,
Cx x1,	x1 2x2 3x3,					4x1 5x2 6x3 .
Ax 2x1 x2,		x2 2x3,				3x1 4x22 5x3 ,
5.6. Bx 2x1	x2,	x2 2x3,				3x1 4x2		5x3 ,
Cx 2x1 x2,		x2 2,			3x1 4x2 5 .
Ax x1,	x1 2x2 3x3,					4x1 5x2 6x3 ,
5.7. Bx x1,	x1 2x2 3,				4x1 5x2		6 ,
Cx x1,	x1 2x2 3x3,					4x14 5x2 6x3 .
Ax 3x1 2x2 x3, 1,						x1 2x2 3 ,
5.8. Bx 3x1	2x2	x3,	0,			x13 2x2	3x3 ,
Cx 3x1 2x2 x3, x3,						x1 2x2 3x3 .

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по вычшей математике (типовые расчеты) Кузнецов Л.А

#
28.03.2015380.5 Кб151. Пределы.PDF
#
28.03.2015285.8 Кб1410. Линейная алгебра.PDF
#
28.03.2015393.74 Кб142. Дифференцирование.PDF
#
28.03.2015261.15 Кб143. Графики.PDF
#
28.03.2015395.12 Кб134. Интегралы.PDF
#
28.03.2015276.58 Кб245. Дифференциальные уравнения.PDF
#
28.03.2015336.05 Кб186. Ряды.PDF