Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет — учебно-научно-производственный комплекс (бывш. ОрелГТУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1. Пределы

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2015

Размер:

380.5 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

На http://technofile.ru – чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции.

Материалы студентам технических вузов!

ПРЕДЕЛЫ

§1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1.Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

2.Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3.Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

4.Теорема о пределе промежуточной функции.

5.Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cosx.

6.Первый замечательный предел limsin x 1.

x 0 x

7. Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно

малой.

8.Теорема о сумме бесконечно малых функций.

9.Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

10.Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от нуля.

11.Теорема о пределе суммы.

12.Теорема о пределе произведения.

13.Теорема о пределе частного.

14.Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

15.Непрерывность суммы, произведения и частного.

16.Непрерывность сложной функции.

17.Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно

малыми.

18.Сравнение бесконечно малых функций.

19.Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными.

20.Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

§ 1.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что если lim a

a, то lim

. Вытекает ли из существования

lim

n n

существование lim an? n

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство

b a b a .

2. Доказать, что последовательность n2 расходиться.

3.	Сформулировать на языке	« » утверждение: «Число	A не	является пределом в точке x0
функции	f x , определенной в окрестности точки x0 ».
4.	Доказать, что если f x	непрерывная функция, F x	f x	есь также непрерывная функция.
4.	Доказать, что если f x	непрерывная функция, F x	f x	есь также непрерывная функция.

Верно ли обратное утверждение?

5. Сформулировать на языке « » утверждение: «Функция f x , определенная в окрестности точки

x0 , не является непрерывной в этой точке».

Пусть

lim f x 0,

lim

x не

существует.

Доказать, что

lim

f x x

не

x x0

существует.

У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

Пусть функция f x имеет предел

в точке

x0 , а функция x не имеет предела. Будут ли

существовать пределы:

lim f x x ;

2) lim f x x ?

x x

Рассмотреть пример: lim xsin

x 0

Пусть

lim f x 0,

функция

бесконечно большая при x

x0. Доказать,

что

x x0

произведение f x x

является бесконечно большой функцией при x x0.

Является ли бесконечно большой при x

0 функция

cos

10. Пусть x x и

x x при x x0

. Доказать, что если

lim

не

x x0 x

существует, то lim

тоже не существует.

x x0 x

§ 1.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Доказать, что lima

a (указать N ).

3n 2

4n 1

1.1. a

1.2. a

a 2.

2n 1

1.3. a		n			7n 4							,								a		7				.
1.3. a												,								a						.
						2n 1														2
1.5. a		n			7n 1						,									a 7.
1.5. a											,									a 7.
						n 1
1.7.	a				9 n3					,									a		1				.
1.7.	a									,									a						.
	n			1 2n3																2
1.9.	a				1 2n2														,	a													1					.
1.9.	a																		,	a																		.
		n			2 4n2															2
1.11. a			n						n 1					,						a										1				.
1.11. a														,						a														.
						1 2n														2
1.13. a						1 2n2							,							a 2.
1.13. a						n2 3							,							a 2.
		n				n2 3
1.15. a			n						n				,							a			1				.
1.15. a									3n 1				,							a							.
									3n 1											3
1.17. a			n						4 2n									,		a												2					.
1.17. a																		,		a																	.
									1 3n											3
									3 n2											1
1.19. a																,				a									.
1.19. a						1 2n2										,				a									.
		n				1 2n2														2
1.21. a			n						3n 1						,					a				3				.
1.21. a															,					a								.
									5n 1											5
1.23. a									1 2n2											, a															1				.
1.23. a									2 4n2											, a																			.
			n						2 4n2											2
1.25. a			n				2 2n										,			a											1					.
1.25. a																	,			a																.
									3 4n											2
1.27. a			n					1 3n					,							a 3.
1.27. a													,							a 3.
									6 n

1.4. an	2n 5	,	a	2	.

	3n 1		3

1.6.

4n2 1

3n2 2

1.8. a

4n 3

a 2.

2n 1

1.10. an

a 5.

n 1

1.12. a

2n 1

3n 5

1.14. a

3n2

a 3.

2 n2

1.16. a

3n3

a 3.

n3 1

1.18. an

5n 15

a 5.

6 n

1.20. a

2n 1

2 3n

1.22. a

4n 3

a 2.

2n 1

1.24. a

5n 1

10n 3

1.26. an

23 4n

a 4.

2 n

1.28. a

2n 3

a 2.

n 5

1.29.	a	3n2 2		,	a	3	.
		4n2 1
	n				4
1.31.	a	2n3	,		a 2.
		n3 2
	n

1.30.	a	2	3n2	,	a	3	.
		4	5n2
	n				5

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

2.1. lim	3 n 2 3 n 2	.	2.2. lim	3 n 4 2 n 4		.
					1 n 4
n 3 n 2 3 n 2			n 1 n 4

2.3.	lim	3 n 4 2 n			4		.
			1 n 3
	n 1 n 3
2.5.	lim	6 n 2 6 n			2		.

			1 n 2
	n 6 n 2
		1 2n	3 8n3
2.7.	lim			.

	n 1 2n 2 4n2
2.9.	lim	3 n 3				.

			n 1 3
	n n 1 2

n 1

3 n 2

2.11.

lim

n2 2n 3

2.13.

lim

n 3 3 n 4

n 4 4

n n 3 4

2.15.

lim

8n3

n 1 4

n n 1 4

2.17.

lim

2n 3 3 n 5 3

n 3n 1 3 2n 3 3

2.19.

lim

2n 1 3 3n 2 3

n 2n 3 3 n 7 3

2.21.

lim

2n 1

3 2n 3 3

n 2n 1 2 2n 3 2

2.23.

lim

n 2 4 n 2 4

n 5 2

n n 5 2

2.25.

lim

n 1 3 n 1 3

n 1 2

n n 1 2

2.27.

lim

n 2 3 n 2

n4 2n2 1

2.29.

lim

n 1 3 n 1 3

	2.4.			lim	1 n 4 1 n 4								.
	2.4.			lim									.
			n 1 n 3 1 n 3
2.6.	lim	n 1 3 n 1 2						.


n n 1 3 n 1 3
	2.8.			lim		3 4n 2								.


			n n 3 3 n 3 3
						n 1 2 n 1						2 n 2 3
	2.10.			lim																.
	2.10.			lim			4 n						3							.
				n									3
				n

	2.12.			lim		n 1 3 n 2 3										.

							n 5 3
				n n 4 3			n 5 3
	2.14.			lim		n 1 4 n 1						4			.

							n 1 3
				n n 1 3			n 1 3
2.16.	lim			n 6 3 n 1					3		.


	n 2n 3 2 n 4 2
	2.18.			lim		n 10 2 3n 1											2	.


				n n 6 3 n 1 3
	2.20.			lim		n 7 3 n 2 3													.


				n 3n 2 2 4n 1 2
	2.22.			lim		n3 n 1 3				.

							n4
				n n 1 4			n4
	2.24.			lim		n 1 4 n 1						4			.

							n 1 3
				n n 1 3			n 1 3
2.26.	lim		n 1 3 n 1 3						.


	n n 1 2 n 1 2

		n 1 3 n 1 3
2.28. lim					.
		n3
	n		3n
	n 2 2 n 2 2
2.30. lim				.
		2

n	n 3

	2n 1 2 n 1 2
2.31. lim			.
	n2
n		n 1

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

	n 3	5n2		4 9n8 1
3.1. lim						.


n n			n		7 n n2

3.3. lim n3 1 n 1. n 3n3 1 n 1

			3n 1			3 125n3 n
3.5.	lim								.
3.5.	lim	5							.
	n	5			n n
					n n

							n2 2
				n 2			n2 2
3.7.	lim							.

n4 4n4 1 3 n4 1

3.9.lim 6n3 n5 1.

n4n6 3 n

4 3n 1 81n4 n2 1

3.11.

lim

n 3

5 n n2

n5 3

n 3

3.13.

lim

n5 n5 3 n 3

3.15.lim 4n 1 327n3 4 .

n4n 3n5 n

n3 7 3 n2 4

3.17.

lim

4 n5 5

4n2 4 n3

3.19.

lim

n 3 n6 n3 1 5n

25n4 81

11n

3.21.

lim

n 7

n2 n 1

				n 1				n2 1
3.2.	lim										.
3.2.	lim										.
	n 3 3n3 3 4 n5 1
		3
		3		n2 1 7n3
3.4.	lim									.
3.4.	lim									.
	n 4 n12 n 1 n

		n	5			3 27n6 n2
		n	5		n	3 27n6 n2
3.6.	lim											.
		n 4

	n						n		9 n2

3.8. lim n4 2 n 2 . n 4n4 2 n 2

	5n 2 3 8n3 5
3.10. lim			.
	4
n		n 7 n

3.12. lim n 3 n2 3 .

n 3 n5 4 4 n4 1

3	n 9n2
3.14. lim		.

n3n 4 9n8 1

3.16.lim n 37n 481n8 1.

nn 4n n2 5

3.18. lim n6 4 n 4 . n 5n6 6 n 6

3.20. lim n 3 38n3 3.

n 4n 4 5 n5 5

3	n2	n2 5
3.22. lim				.


n 5 n7			n 1

n 5

n2 2 5n2

3.23. lim

3.24. lim

n 7 n7 5

n 5

n n n4 n 1

n 2 3

n3 2

n 71n

3 64n6 9

3.25.

lim

3.26.

lim

n 3

n 7

n 2

5 n5 2

11 n2

n2 5

n8 6

n 6

3.27.

lim

3.28.

lim

n 3 n3 3 4 n3 1

n 8 n8 6

n 6

n2 n3 1

n3 1

n 1

3.29.

lim

3.30.

lim

n 3 n6 2 n

n 4

n 1

5 n5 1

n 6

n10 1

3.31.

lim

n 4

3 n3 1

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n2 1

4.1.

lim n

n3 5

4.3.

lim

n n2 5

4.5.

lim

n5 8

4 n3

4.7.

lim

	n
	n
4.2.	lim n		n n 2						n2	3	.


4.4.		n		2		n	2	4		n	4	9
	n
	lim				1

4.6. lim n2 3n 2 n .

4.8. lim	n n 2	n2 2n 3	.
n

4.9. lim	n 2	n 1	n	1	n 3 .
n


	n
	n			n					n5	8		.
4.10.	lim n2			n	n4 1				n5	8		.
	n
	n		3 5 8n3			2n		.
4.11.	lim n		3 5 8n3			2n		.
		3									.
4.13.	lim	3	n 2 2			3	n 3 2				.
	n

4.15. lim n2 3n 2 n2 3 .

n
	3 5 n3	3 3 n3	.
4.12. lim n2

n 1 3 n n 1 n 3

4.14.lim .

n			n
n
n
n	n	n 2		n 3	.
4.16. lim	n	n 2		n 3	.

4.17.	lim				n n5 9													n4 1 n2 5																		.
4.17.	lim																	n																		.
	n																	n
	n																																										n
	n					n n 5									n					.																							n			n3	8			n3 2			n3 1		.
4.18.	lim					n n 5									n					.																					4.19.		lim			n3	8			n3 2			n3 1		.

4.20.	lim				n3 1 n2 3																					n n4 2											.
4.20.	lim																																				.
	n															2			n
	n

4.21.							n			2				n		2	2														n	2					n		2	2			.
	n
	lim										1																						1

																					n
4.22.	lim				n5 1 n2 1																n								n n4 1									.
4.22.	lim																	n																				.
	n																	n

					n4 1 n2 1
																					n6 1
																					n6 1																							n				n	n 1 .
4.23.	lim																																	.							4.24.		lim
4.23.	lim															n																		.							4.24.		lim
	n															n																											n

	n																																										n
	n																																										n
4.25.	lim n		3				3			n	2	n	6	4									3		n			8			1 .										4.26.		lim		n n						n n 1 n 2					.
4.25.	lim n									n		n		4											n						1 .										4.26.		lim		n n						n n 1 n 2					.

									3 n2 3						n n					1
	n			n																																							n
4.27.	lim	3		n																							.														4.28.		lim			n	2				n 3	n 4		.
	n
	n							n4 3									n4				2					.
4.29.	lim n							n4 3									n4				2					.
	n

				n n 1 n											2									n3						3					n3				2			.
4.30.	lim			n n 1 n											2									n3						3					n3				2			.

					n2 5 n4 2
4.31.	lim				n2 5 n4 2																	n6 3n3 5																		.
4.31.	lim																		n																					.
	n																		n

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

	1		2		3				n 1							2n 2	!
															2n 1 !	2n 2	!
5.1.	lim						...				.			5.2. lim				.
5.1.	lim	2	n	2	n	2	...		n	2	.			5.2. lim	2n 3 !			.
	n n		n		n				n					n	2n 3 !
	1 3 5 7 ...							2n 1				2n	1
5.3.	lim											2n	1	.
5.3.	lim				n 1							2		.
	n				n 1							2

5.4.	lim		2n 1 3n 1			.

n				2n 3n
5.6.	lim	1 3 5 ... 2n 1							.

n				1 2 3 .. n
			1 3 5 7 ... 2n 1
5.7.	lim									n .
							n 3
n
5.9.	lim		n 4 ! n 2 !					.

n					n 3 !

5.11.	lim			2n	5n 1		.
					5n 2
	n 2n 1

5.5. lim 1 2 3 ... n.

9n4 1

5.8. lim 1 4 7 ... 3n 2 .

n							5n4			n 1
5.10.	lim		3n 1 ! 3n 1 !										.

	n				3n ! n 1

		1				1		1		...	1
								2				n
5.12.	lim			3				3	3					.
								1
	n 1				1					...		1
								52				5n
				5

5.13.	lim	1 3 5 7								9 11 ... 4n 3 4n 1														.
5.13.	lim																							.
	n								n2 1 n2 n 1
5.14.	lim		1 2 3 4 ... 2n 1 2n															.


	n							9n4 1

5.15.	lim			3 n3 5					3n4 2						.						5.16.		lim			3n 2n			.
5.15.	lim														.						5.16.		lim						.
	n 1 3 5 ...										2n 1												n 3n 1 2n
					n 2						2														5 13							3n 2n
5.17.	lim											.									5.18.		lim						...							.
5.17.	lim											.									5.18.		lim						...			6	n			.
	n		1 2 3 ...n								3												n				6 36					6
5.19.	lim		2 5 4 7 ... 2n 2n 3																.		5.20.		lim			2n 1 ! 2n 2 !								.
5.19.	lim																		.		5.20.		lim											.
	n									n 3													n 2n 3 ! 2n 2 !
		1 2 ... n																										n2			1
5.21.	lim	1 2 ... n								.											5.22.		lim					n2		n	1						.
5.21.	lim			n n2 3						.											5.22.		lim														.
	n			n n2 3																			n 2 7 12 .. 5n 3
				3	5	9							1 2			n							lim				2 4 6 ... 2n								.
5.23.	lim			3	5	9				...			1 2				.				5.24.						2 4 6 ... 2n
5.23.	lim									...				n			.				5.24.
	n			4 16 64								4											n 1 3 5 .. 2n 1
			1 5 9 13 ... 4n 3															4n 1
5.25.	lim																					.
5.25.	lim						n 1													2		.
	n						n 1													2

2n 7n

5.26.	lim	1 2 3 4 ... 2n											.

	n				3 n3 2n 2
5.28.	lim			n! n 2 !						.

	n n 1 ! n 2 !
				7			29		2		n	5		n
5.30.	lim							...							.
			10			100						n
	n										10

5.27. lim		.

n 2n 7n 1

5.29.	lim	3 6 9 ... 3n			.
5.29.	lim				.
	n		n2 4
			2 4 ... 2n
5.31.	lim			n .
5.31.	lim		n 3	n .
	n		n 3

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.


	n 1 n
6.1.	lim							.

	n n 1
	n2					1 n4
6.3.	lim								.
				n		2
	n
			2n		2		2				n2
6.5.	lim										.
			2n			2	1
	n
			2			3n					6	n/2
6.7.	lim	n										.
				2	5n 1
	n n
	6n 7 3n 2
6.9.	lim									.
			6n
	n					4

n2 n 1 n2

6.11. lim .

n n2 n 1

n 1 n2

6.13. lim .

n n 1

3n 1 2n 3

6.15. lim .

n 3n 1

n 3 n 4

6.17. lim .

n n 5


				2n 3 n 1
6.2.	lim												.
6.2.	lim												.
n 2n 1
				n 1 n 2
6.4.	lim										.
6.4.	lim										.
n n 3
	lim			3n2 6n 7 n 1
6.6.
6.6.								2		20n 1
n 3n										20n 1
				n 10 3n 1
6.8.	lim											.
6.8.	lim											.
n							n 1
			lim		3n2 4n 1 2n 5
6.10.
6.10.							3n		2		2n 7
		n					3n				2n 7
							2n			2	5n 7					n
6.12.			lim				2n				5n 7					.
6.12.			lim				2n			2	5n 3					.
		n					2n				5n 3
					5n2 3n 1 n2
6.14.			lim													.
6.14.			lim				5n		2		3n 3					.
		n					5n				3n 3
			2n	2	7n 1									n2
6.16. lim			2n		7n 1									.
6.16. lim			2n	2	3n 1									.
n			2n		3n 1
							3			1			2n n3
6.18.			lim			n				1					.
6.18.			lim			3				1					.
		n n								1

21n 7

2n 1

6.19.

lim

18n 9

3n2 5n

n 1

6.21.

lim

5n 7

6n 5

3n 2

6.23.

lim

5n 5

18n 15

n 2

6.25.

lim

11n 15

n3 n 1 2n2

6.27.

lim

2n 3

3n2 7

6.29.

lim

2n 1

4n2 4n 1 1 2n

6.31.

lim

2n 3

Задача 7. Доказать (найти ), что:

2x2 5x 3

7.1.

lim

x -3

x 3

3x2 5x 2

7.3.

lim

x -2

x 2

6x2 x 1

7.5.

lim

x -1 2

x 1 2

9x2 1

7.7.

lim

x -1 3

x 1 3

7.9.

lim

3x2 2x 1

x 1 3

x -1 3

x2 4x 3

7.11. lim

x 3

	10n 3 5n
6.20.	lim				.
6.20.	lim				.
	n	10n 1
	n 3 n2
6.22.	lim		.
6.22.	lim		.
	n n 1
	n 4 n
6.24.	lim		.
6.24.	lim		.
	n n 2
		2n 1 n 1
6.26.	lim			.
6.26.	lim			.
	n	2n 1
		13n 3				n 3
6.28.	lim					.
6.28.	lim	13n 10				.
	n	13n 10
	n 5 n/6 1
6.30.	lim		.
6.30.	lim		.
	n n 7

5x2

4x 1

7.2. lim

x 1

4x2

14x 6

7.4. lim

10.

x 3

6x2 x 1

7.6.

lim

x 1 2

3x2 5x 2

7.8. lim

x 2

7x2 8x 1

7.10.

lim

x -1

x 1

2x2 3x 2

7.12.

lim

x 1 2

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Сборник задач по вычшей математике (типовые расчеты) Кузнецов Л.А

#
28.03.2015380.5 Кб151. Пределы.PDF
#
28.03.2015285.8 Кб1410. Линейная алгебра.PDF
#
28.03.2015393.74 Кб142. Дифференцирование.PDF
#
28.03.2015261.15 Кб143. Графики.PDF
#
28.03.2015395.12 Кб134. Интегралы.PDF
#
28.03.2015276.58 Кб245. Дифференциальные уравнения.PDF