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1 |
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7.21. n 2 |
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. |
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n 5 ln2 n 1 |
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n2 |
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7.23. n 2 |
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. |
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n3 |
1 lnn |
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||||||
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1 |
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7.25. n 4 |
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. |
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n |
3 1 ln2 n 2 |
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3n |
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7.27. n 2 |
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. |
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2n2 |
3 lnn |
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2n 1 |
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7.29. n 3 |
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. |
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3n2 |
2 2 ln n |
|
2 |
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|
3n |
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7.31. n 2 |
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. |
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n2 |
2 ln 2n |
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Задача 8. Исследовать на сходимость ряд. |
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2n 1 |
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8.1. 1 n 1 |
. |
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||||||||
n n 1 |
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|||||||||
n 1 |
|
|
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|
8.3. n 2 ln n 1 .
1 n 2n2
8.5. n 1 n4 n2 1.
1 n
8.7.n 3 nln n 1 .
1 n sin |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
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|
2 |
n |
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8.9. |
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. |
||||||
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|
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n 1 |
|
3n 1 |
||||||||||
|
sinn |
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8.11. |
. |
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n 1 |
n! |
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1 |
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8.13. 1 n tg |
. |
|
|
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|||||||
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|
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|
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||||||||
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
7.22. n 2 |
|
|
|
. |
|
|||
n |
3 ln2 n 7 |
|
||||||
|
|
n |
||||||
7.24. n 3 |
|
|||||||
|
|
|
. |
|
||||
n2 |
3 ln2 n |
|||||||
|
|
n |
||||||
7.26. n 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
n2 |
5 lnn |
|||||
|
|
n 1 |
||||||
7.28. n 4 |
|
|
||||||
|
|
. |
||||||
|
5n2 9 ln n 2 |
|
n |
||
7.30. n 2 |
|||
|
. |
||
n2 1 lnn |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
n |
||||||||
|
8.2. 1 |
|
|
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|||||||||||||||
|
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|
|
. |
|||||||
|
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|||||||||
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|
n 1 |
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|
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2n 1 |
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|
1 |
n |
|
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|
|
|
|
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|
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|||
|
|
|
|
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8.4. n 3 |
|
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|
. |
|
|
|
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|
|
|
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|||||||
n lnlnn lnn |
|
|
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1 |
n |
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|
|
|
|||||||||
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|||||||
|
8.6. n 3 |
|
|
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|
|
. |
|
|
||||||||||
|
n 1 lnn |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
n 1 |
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|
|||||||||
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8.8. |
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. |
|
|
|
|||||||
|
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|
|
|
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||||||
|
n4 2n 3 |
|
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||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
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|
|
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|||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
8.10. 1 n cos |
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n |
|
1 n
8.12.n 3 nln 2n .
cosn.28.14.
n 1 n
11
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|||||
8.15. |
|
|
. |
8.16. |
|
|
|
|
|
. |
|||||
n 1 2 |
2n |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
cos |
|
3n lnn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
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|
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|
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
n 1 3 2 |
n |
|||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 n n 3 |
|||||||||||||||
8.19. n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
ln n 4 |
|||||||||||||||
|
1 n tg |
|
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|
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|||||
|
|
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|
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||||||
|
n |
|
|
|
||||||||||||
8.21. |
|
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
5n 1 |
|||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||
|
|
|
n sin n |
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||
8.23. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
8.25. 1 n sin |
. |
||||
n |
|||||
n 1 |
2 |
|
|
||
|
|
n |
|||
8.27. 1 n |
sin3 |
. |
|||
n |
|||||
n 1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
8.29. 1 n sin |
tg |
. |
||||||
n |
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
n |
||||
|
n |
3 |
|
|
|
|
||
8.31. 1 n |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
n 1 |
n 1 ! |
Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью .
|
|
8.18. 1 n 2n 1. |
|
n 1 |
3n |
n n 1
8.20.1 .
|
n 1 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
8.22. n 0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
2n 1 |
22n 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
8.24. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 1 n cos 2 |
|
n 4 |
|
|
1 n
8.26.n 1 n2 sin2 n.
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
||||
8.28. 1 |
|
|
|
||||||||
|
ln |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|||
|
n |
2 |
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
8.30. 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||||
9.1. 1 n 1 |
, |
|
0,01. |
9.2. |
1 |
|
|
|
, 0,01. |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
3n |
|
|
|
|
n 1 |
n! |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
9.3. 1 n 1 |
|
|
|
, |
0,001. |
9.4. 1 n |
, 0,001. |
||||||||||
|
2n |
3 |
|
n! 2n 1 |
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2n 1 |
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.5. 1 n |
|
|
, 0,01. 9.6. |
|
|
, |
|
0,0001. |
|||||||||
n |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
n 1 |
|
n 1 |
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
12
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
2 |
|
|
|
|||
9.7. |
1 |
, |
|
|
0,1. |
9.8. |
1 |
|
, |
|
0,1. |
|||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0,001. |
9.10. |
|
|
|
|
, |
0,0001. |
|||
|
2n 1 |
2 |
2n |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
2n 1 !! |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.11. |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
0,001. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
2n !! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
9.13. |
|
|
|
, |
|
0,0001. |
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.15. |
|
|
|
|
, |
|
0,001. |
||||||||||
|
2n ! |
|
|||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.17. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
0,00001. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
2n !2n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.19. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0,001. |
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n 1 |
2 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.21. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
0,00001. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
2n !n! |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.23. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
0,001. |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 0 |
4 |
|
2n 1 |
|
|||||||||||||
|
|
1 n 2n |
|
|
|
||||||||||||
9.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0,001. |
||
|
n 1 |
n |
|
||||||||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9.12. |
|
|
|
, |
|
0,01. |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
n 0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.14. |
|
|
|
|
|
, |
|
0,1. |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.16. |
|
|
|
|
, |
|
|
0,01. |
||||||||||||
|
|
|
3n! |
|
|
|||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
2n 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.18. |
|
|
|
|
, 0,001. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
2n !n! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.20. |
|
|
|
|
|
, |
|
|
0,001. |
|||||||||||
n |
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n 1 |
3 |
n! |
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cos n |
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n |
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n 0 |
3 |
n 1 |
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sin |
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2 n |
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9.24. |
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, 0,01. |
||||||
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n |
3 |
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n 1 |
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|||||
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1 |
n |
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9.26. |
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, |
0,001. |
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n 1 |
n |
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n 0 |
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sin |
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2 n |
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1 n |
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9.27. |
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, 0,01.9.28. |
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, |
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0,01. |
n |
3 |
1 |
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n |
3 |
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n 1 |
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n 1 |
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n 3 |
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|
cos n |
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1 |
n |
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9.29. |
, |
0,001. |
9.30. |
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, 0,01. |
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2 |
1 n |
2 |
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n 0 |
n3 1 |
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n 0 |
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1 n n |
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9.31. |
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, |
0,001. |
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1 n3 |
2 |
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n 0 |
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13
Задача 10. Доказать справедливость равенства. (Ответом служит число , получаемое при применении признака Даламбера или признака Коши.)
10.1. lim |
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n! |
|
0. |
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n nn |
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10.3. lim |
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0. |
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n nn |
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10.5. lim |
2n ! |
0. |
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n 2n2 ! |
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2n !! |
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10.7. lim |
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0. |
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5n |
2 |
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n |
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10.9. lim |
n 1 ! |
0. |
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n |
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nn |
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10.11. lim |
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2n 1 !! |
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0. |
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nn |
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n |
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3n ! |
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10.13. lim |
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0. |
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2n |
2 |
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n |
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10.15. lim |
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n5 |
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0. |
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n |
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2n ! |
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10.17. lim |
n 2 ! |
0. |
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|
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n |
|
|
|
|
|
nn |
|
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10.19. lim |
2n 1 !! |
|
0. |
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|
nn |
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n |
|
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4n ! |
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10.21. lim |
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0. |
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2n |
2 |
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n |
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10.23. lim |
|
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n3 |
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0. |
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4n |
2 |
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n |
|
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10.25. lim |
n 3 ! |
0. |
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n |
|
|
|
|
nn |
|
|
nn |
|
10.2. lim |
|
0. |
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n |
2n ! |
|
|
2n n |
|
10.4. lim |
|
|
0. |
|
|
||
n |
2n 1 ! |
nn
10.6. lim 0. n n! 2
10.8. lim n2 0. n n!
|
nn |
|
10.10. lim |
|
0. |
|
||
n |
2n 1 ! |
10.12.lim 3n n 0. n 2n 1 !
nn
10.14. lim 0. n n! 3
10.16. lim 23n 0. n n!
|
nn |
|
10.18. lim |
|
0. |
|
||
n |
2n 1 ! |
10.20.lim 2n n 0. n 2n 1 !
nn
10.22. lim 0.
n n 1 ! 2
10.24. lim n! 0. n 2n2
|
nn |
|
10.26. lim |
|
0. |
|
||
n |
2n 3 ! |
14
10.27. lim (2n 3)!! 0.
n nn
|
5n ! |
|||
10.29. lim |
|
|
0. |
|
2n |
2 |
|||
n |
|
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|
n2 1 |
|||
10.31. lim |
|
|
|
0. |
|
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|
||
n |
2n !! |
10.28.lim 5n n 0. n 2n 1 !
nn
10.30. lim 0.
n n 2 ! 2
Задача 11. Найти область сходимости функционального ряда.
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1 |
n |
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11.1. |
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x n |
1 5 |
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n 1 |
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|
n |
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1 |
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11.3. n 1 |
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n 1 |
3x2 4x 2 n |
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x |
n |
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11.5. |
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. |
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1 x |
n |
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n 1 |
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x |
n |
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11.7. |
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. |
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1 x |
2n |
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n 1 |
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1 |
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1 x n |
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11.9. |
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. |
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n 1 |
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n 3 |
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1 x |
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1 |
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11.11. |
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. |
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2x 1 |
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n 1 |
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3 n2 n 1 |
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|
n |
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1 |
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11.13. |
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|
. |
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|
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|||||||||||||||
|
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3 x n |
|
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|
n 1 |
|
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||||||||||||
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|
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|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
n x |
|
|
|
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|||||||||||||
11.15. |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
n |
|
|
|
|
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|||||||
|
|
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11.17. |
|
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|
. |
|
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|
|
|
|
||||||||||
|
x n |
|
2 |
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|
n 1 |
|
|
|
|
|
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|
1 n 1 x n |
|||||||||||||||||||||
11.2. |
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. |
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|
2n |
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|
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|
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|
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|
n 1 |
|
|
1 1 x |
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|
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|
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|
|
n |
1 |
x2 4x 6 n . |
|||||||||||||||||||
11.4. |
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
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|
n 1 |
|
|
|
3 |
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||
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|
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|
n 3 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||
11.6. n 1 |
|
|
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. |
|||||||||||||||||
|
n 1 |
27x2 12x 2 n |
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|
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|
n2n |
1 |
|
|
|||||||||||||||||
11.8. n 1 |
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|
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. |
|||||||||||||||||||
|
n 1 |
3x2 |
8x 6 n |
||||||||||||||||||||||||
|
x2 6x 12 n |
|
|
|
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11.10. |
|
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|
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. |
|
|
|
||
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4 |
n |
|
n |
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
n 1 |
|
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1 |
n |
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|||||||
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11.12. |
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|
. |
|
|
|
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||||||||||
|
x n |
3 |
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n 1 |
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
x2 5x 11 n |
|
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11.14. |
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. |
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5 |
n |
n |
2 |
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|
5 |
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|
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n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
11.16.n 1 n n x .
1 xn
1 xn .11.18. n 1
15
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
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|||||||||||
11.19. |
|
|
. |
|
|
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|
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11.20. |
|
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. |
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|
||||
xn |
x |
|
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|
2 |
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|||||||||||
n 1 |
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n 1 nx |
|
1 |
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||||||||||||
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|
2 |
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|
|
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|
3 |
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||||
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|
|
|
|
|
n |
|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||||
11.21. |
|
|
n |
|
|
|
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|
|
25x2 1 n . |
11.22. |
|
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|
. |
|
|
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||||||||||||
n |
|
2 |
|
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|
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2 n |
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|
1 |
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|
x |
|
|
|
n |
|
|
|
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||||||||||||||||
n 1 |
|
|
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|
n 1 |
|
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|
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2n |
3 |
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||
11.23. n 1 |
|
|
|
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|
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|
. |
11.24. n 1 |
|
|
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|
. |
|
|
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||||||||||||
n3 2 |
|
3x2 10x 9 n |
x 2n |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
1 |
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|
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|
x |
|
n |
|
x |
|
n |
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||||||||||||||
|
|
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11.25. |
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. |
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11.26. |
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. |
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|||||||
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x n x n 1 |
|
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
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||||||||||||||||||||
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|
x |
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|
n |
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|
||||||
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|
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|
|
|
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|
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|
1 n |
|||||||||||||||
11.27. n 1 |
|
|
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|
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|
|
|
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|
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11.28. n 1 |
|
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|||||||||||
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|
|
. |
|
|
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|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
n n ex |
|
|
|
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|
n ex n2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
n |
|
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|
|
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|
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|||||
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|
x |
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||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
11.29. |
|
. |
|
|
|
|
11.30. |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n x |
|
|
|
|
|
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|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
11.31.n x2 .n 1
Задача 12. Найти область сходимости функционального ряда.
12.1. 9n x2n sin x n . n 1 n
12.3. 3n x4n cos x n . n 1 n
23n
12.5.n 1 3n x4n sin 3x n .
|
|
5 |
n |
||||||
12.7. |
|
|
|
x2n cos x n . |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
n 1 |
4 3n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
12.9. |
2n x3n sin |
. |
|||||||
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
2x |
|
|
12.11. 23n xn sin |
. |
||
|
|||
n 1 |
n |
|
|
4 |
n |
|
|
||||||
12.2. |
|
|
|
x4n sin 2x n . |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
n |
|
|
|||||||
5 n |
1 |
|
|
2n |
|
||||||
12.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
cos x n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
6 |
n |
|
|
||||||
12.6. |
|
|
|
x2n sin 5x n . |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
n |
|
|
|||||||
|
|
9 |
n |
|
|
||||||
12.8. |
|
|
|
x2n sin 3x n . |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
n 1 |
2n |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
12.10. 32n xn sin |
. |
||||||
|
|
||||||
n 1 |
2n |
||||||
|
3 |
x |
|
|
|||
12.12. 3n x3n sin |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|||||||
n 1 |
|
n |
16
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
12.13. 3n xntg |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
12.15. x3ntg |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
n 1 |
3n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
12.17. 16n x3narcsin |
|
. |
||||||
|
|
|
||||||
3 |
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
2x |
|
|
12.19. 2n xnarctg |
. |
||
|
|||
n 1 |
n 1 |
|
3x |
|
|
12.21. 27n x3narctg |
. |
||
|
|||
n 1 |
2n 3 |
12.23. 8n n2 sin3n x. n 1
12.25. 3n tg2n x. n 1 n
12.27. 4n sin2n x. n 1 n2
1 n
12.29.n2 tg x.n 1
|
|
n 2 |
|
|
12.31. |
4 3 |
tgn 2x . |
||
|
|
|
||
|
n |
|||
n 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.14. 8n x3ntg |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
4 n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
12.16. 2n x3narcsin |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
3n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
12.18. 32n x5narcsin |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
12.20. 2n x3narctg |
|
|
. |
|||||||||||
2 n 3 |
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
12.22. 8n sin3n x. n 1 n2
|
2 |
n |
|||||
12.24. |
|
|
|
|
sin2n 2x . |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
n 1 |
|
n |
|||||
|
n |
||||||
12.26. |
2 |
|
sinn 3x . |
||||
4 |
|
||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
12.28. |
tgn 2x . |
||||||
3 |
|||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
1 n
12.30.n 3n 2 tg x.n 1
Задача 13. Найти область сходимости функционального ряда.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e n2 |
x 1 3 . |
||
13.1. 2n2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 |
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
n |
x 1 2 |
|||
|
|
|
|
|||||||||
13.3. 1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
. |
||||
n |
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.5. e 1 x n |
. |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2 1 n . |
13.7. 5 n3 sin x |
|
n 1 |
|
|
n |
|
x 1 |
n |
|
|
13.2. |
ln |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
n 1 |
|
|
x e |
13.4. n2 x 1 e nx .
|
|
n 1 |
|
|
|
||
|
|
1 |
n |
|
n x 1 |
||
13.6. 1 |
|
|
3 |
. |
|||
n |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
1
13.8.n 1 lnn x 1 .
17
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
13.9. 5nx arctg |
|
|
|
. |
||||
7 |
nx |
x 1 |
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 |
n |
|
n x |
2 |
|
|
13.11. 1 |
|
|
3 |
|
. |
|
||
n |
|
|
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.13. en2 sin x2 1 |
n . |
|
|
n 1
ln 1 1n lnln x n
13.15. .
n 1 |
|
|
x e1 e |
||
|
|
1 |
|
|
|
13.17. n 1 |
|
|
. |
||
lnn x 1 e |
|||||
|
1 n 1 |
||||
13.19. |
|
|
|
. |
|
|
e |
nsin x |
|||
n 1 |
|
|
|
13.21. 1 n 3 n2 ln 1 xn .
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
13.23. n |
x |
arcsin |
. |
|
|
|
|||||||||
|
nx |
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n2 lnn |
|
x2 |
1 |
|||
13.25. 1 n 1 |
|
|
|
. |
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.27. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
sin1 |
n2x2 . |
|
|
|
|||||||
13.29. e n4 |
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
n2 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13.31. 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
. |
|
||||||
n |
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
13.10. n 1 |
|
|
. |
||
lnn x |
2 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
13.12. n 1 |
|
. |
|||
lnn |
x e |
13.14. 1 n 1 e ncosx .
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
13.16. |
|
|
|
|
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|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||
|
n |
ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
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|
|
|
|
|
xlnn |
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|||||||||
13.18. sinn |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
n2 |
arctan 1 n |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13.20. 1 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
. |
|
|
|||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos n x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
13.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
en |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13.24. n2xarctg |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n ln x |
|
||||||||||||
13.26. nln |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
e |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 . |
|
||
13.28. 1 n 5 n lnn |
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13.30. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
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2 |
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n 1 |
nln 1 x |
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Задача 14. Найти область сходимости функционального ряда.
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n 2 3 x 3 2n |
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1 n x 3 n |
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14.1. |
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. |
14.2. |
|
. |
|
n |
||||
n 1 |
2n 3 |
n 1 |
n 1 5 |
18
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x 1 2n |
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||||
14.3. |
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. |
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n9 |
n |
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n 1 |
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||
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2n |
||
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x 2 |
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14.5. |
1 n 1 |
. |
||||||
|
||||||||
|
n 1 |
|
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2n |
|
|
n3 1
14.7.n 1 3n x 2 n .
x 5 2n 1
4n 2n 1 .14.9. n 1
|
x 2 n |
|
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||||||||
14.11. n 1 |
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. |
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||||||||
3n 1 2n |
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1 |
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14.13. x 5 n tg |
. |
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|
n |
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|||||||||||||||||
n 1 |
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3 |
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|||||
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1 |
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14.15. n 1 |
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. |
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n 9n |
x 1 2n |
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n2 |
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|||
x 2 |
|
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|||||||
14.17. |
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. |
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|||||||
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n |
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n 1 |
n |
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||||
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3n 2 x 3 n |
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|||||||||||||||||
14.19. |
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. |
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n 1 |
2 |
2n 1 |
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n 1 |
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1 |
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14.21. |
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. |
||||
n 2 ln n |
2 x |
3 |
2n |
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n 2 |
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x 4 |
n2 |
|
|
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14.23. |
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|
. |
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|
n |
n 1 |
|
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||||||||
n 1 |
|
|
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||||
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|
n 1 |
|
|
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||||||
14.25. |
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. |
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3n x 3 |
n |
|
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n 5 |
|
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|||||||||
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3n 5 |
|
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||||||||||||||
14.27. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
2n 9 |
5 |
x |
2 |
2n |
|
|
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|||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
2n 3 |
|
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||||||||
14.4. n 1 |
|
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|
|
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. |
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||||||||||
|
n 1 5 x2n |
||||||||||||||||||||||||
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2n 1 |
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|||||
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x 5 |
|
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|||||||||||||||
14.6. |
|
|
. |
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|||||||||||||||||
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||||||||||||
|
n 1 |
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|
3n 8 |
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|||||||||
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|
n! |
|
|
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||||||
14.8. |
|
. |
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|
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||||||||||
|
|
|
n |
|
|
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||||||||||
|
n 1 |
|
|
x |
|
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|
||||
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x 7 2n 1 |
||||||||||||||||
14.10. n 1 |
|
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|
. |
|
||||||||||||
|
|
2n2 |
5n 4 n |
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
3n x 2 3n |
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14.12. |
|
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|
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|
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|
. |
|
|
|
||||||
|
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|
|
5n |
8 |
3 |
|
|
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||||||||||||||||
|
n 2 |
|
|
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|
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|||||||||||||
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|
n |
|
|
|
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|
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||||
14.14. sin |
|
|
|
|
|
x 2 n . |
|||||||||||||||||||
n |
2 |
|
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n 1 |
|
|
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|
|
|
1 |
|
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||||||
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14.16. 3n2 |
xn2 . |
|
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|
n 1 |
|
|
|
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|
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|
n |
5 |
|
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14.18. |
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x 5 2n 1 . |
|||||||||||||||
|
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|
n 1 |
|
|
n 1 ! |
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|||||||||||||
|
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x 5 |
n |
||||||||||
|
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||||||||
14.20. n 1 |
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n 4 ln n 4 |
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|
1 |
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||||||||||||||
14.22. n 5 |
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. |
||||||||||||||||||||||
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|
2n n2 x 2 n |
|||||||||||||||||||||||
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|
5 |
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14.24. |
n |
. |
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|||||||||||
n |
|
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|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
x |
|
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||||
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|
4 |
n |
|
x |
1 |
2n |
|
|
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||||||||||
14.26. |
|
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|
|
. |
|
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|||||||||||||||
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|
n |
|
|
|
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||||||||
|
n 1 |
|
|
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|
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n2 1
14.28.n 5 5n x 4 n .
19
|
x 2 n |
|
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n2 x 3 n |
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|||||||||||||||
14.29. |
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|
. |
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14.30. |
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. |
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||||||||
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|
n |
|
n4 1 |
2 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
2n 1 3 |
|
|
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|
n 1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
n 1 |
5 |
x |
2n |
|
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||||||||||||||||||||
14.31. |
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. |
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|||||||||||
2n 1 |
|
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|||||||||||||||||||||
n 1 |
|
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|||||||
Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке [0,1]. |
При |
|
|
каких |
n |
абсолютная величина остаточного члена ряда |
не |
|
|
превосходит 0.1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x [0,1]? |
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||
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|
x |
n |
|
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|
x |
n |
|
|
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|
|
|
|
|
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||||
15.1. 1 n |
|
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|
. |
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|
15.2. 1 n |
|
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. |
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|
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|||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
7n 11 |
|
n 1 |
|
5n 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
x |
n |
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
||||||||||||
15.3. 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
15.4. 1 n |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
4n 6 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n3 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
n |
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||||
15.5. 1 n |
|
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|
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|
. |
|
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|
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15.6. 1 n |
|
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|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
4n 5 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
||||||||||||
15.7. 1 n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
15.8. 1 n |
|
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n 1 |
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3 n3 2 |
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15.9. 1 n |
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15.10. 1 n |
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6n 11 |
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n 1 |
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15.11. 1 n |
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15.12. 1 n |
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n 1 |
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7n 10 |
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n 1 |
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6n 8 |
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15.13. 1 n |
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3 n3 4 |
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n 1 |
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n 1 |
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2n 3 |
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15.15. 1 n |
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15.16. 1 n |
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n 1 |
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8n 12 |
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n 1 |
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6n 7 |
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15.17. 1 n |
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15.18. 1 n |
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n 1 |
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5n 8 |
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n 1 |
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6n 10 |
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15.19. 1 n |
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15.20. 1 n |
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n 1 |
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4n 7 |
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n 1 |
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5n 7 |
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15.22. 1 n |
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n 1 |
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7n 13 |
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n 1 |
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3 8n3 21 |
20