Вопрос 24.Другие виды средних: средняя гармоническая и средняя геометрическая
1. Средняя
гармоническая –
это величина, обратная средней
арифметической, когда
.
Когда статистическая информация не
содержит частот по отдельным вариантам
совокупности, а представлена как их
произведение, применяется формула
средней
гармонической взвешенной:
,
где
.
(4.23)
Когда объемы
явлений, т.е. произведения (
),
по каждому признаку равны, применяетсясредняя
гармоническая простая:
,
(4.24)
где
– сумма обратных значений вариант;
–число вариант.
Например, по данным таблицы 4.3 рассчитаем среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям.
Таблица 4.3 - Заработная плата на предприятиях АО в 2010 г.
|
Предприятие |
Численность промышленно-производственного персонала, чел. |
Средняя заработная плата, руб. |
|
1 |
540 |
8500 |
|
2 |
275 |
12600 |
|
3 |
458 |
15100 |
|
Итого |
1273 |
? |
Определим исходное соотношение средней для показателя «Средняя заработная плата»:
.
(4.25)
Нам известен знаменатель исходного соотношения, но не известен числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:
Допустим, что нам известны только данные о фонде заработной платы и средней заработной плате персонала (таблица 4.4), т.е. известен числитель исходного соотношения, но не известен его знаменатель.
Таблица 4.4 - Месячный фонд заработной платы и средняя заработная плата на предприятиях АО в 2010 г.
|
Предприятие |
Месячный фонд заработной платы, тыс. руб. |
Средняя заработная плата, руб. |
|
1 |
4590,0 |
8500 |
|
2 |
3465,0 |
12600 |
|
3 |
6915,8 |
15100 |
|
Итого |
14970,8 |
? |
Численность работников по каждому предприятию можно получить делением фонда заработной платы на среднюю заработную плату. Тогда для расчета средней заработной платы мы будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:
2. Средняя
геометрическая
– это величина, используемая как средняя
из отношений или в рядах распределения,
представленных в виде геометрической
прогрессии, когда
,
.
Средняя геометрическая используется
в расчетах среднегодовых темпов роста
и для определения равноудаленной
величины от минимального и максимального
значений признака.
1) средняя геометрическая простая:
,
(4.26)
2) средняя геометрическая взвешенная:
.
(4.27)
В ряде случаев в
экономической практике возникает
потребность расчета среднего размера
признака, выраженного в квадратических
и кубических единицах измерения
(например, для вычисления средней
величины
квадратных
участков; средних диаметров труб и т.п.)
средняя кубическая (при определении
средней длины
кубов).
Вопрос 25.Структурные средние величины (мода и медиана)
Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели – структурные средние. К таким показателям относятся мода и медиана.
Модой
(
)
называется чаще всего встречающийся
вариант.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой
Медиана
(
)
– это величина, которая делит численность
упорядоченного вариационного ряда на
две равные части: одна часть имеет
значение варьирующего признака меньше,
чем средний вариант, а другая – больше.
Для ранжированного ряда (т.е. построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин) с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, данные о стаже работы семи продавцов: 1,2,2,3,5,7,10 – медианой является 4-ая варианта – 3г.
Для ранжированного ряда с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант. Например: в бригаде продавцов из 6 человек распределение по стажу работы следующее: 1,3,4,5,7,9 – медиана = (4+5)/2 =4,5г.
.
(4.33)
Медианный интервал – это интервал, где сумма накопленных частот составляет половину (или больше) всей суммы частот ряда.
Пример: Для приведенного в таблице 4.5 распределения рабочих по размеру заработной платы (гр.1, 2) определить моду и медиану.
Перепишем этот ряд и рассчитаем в нем накопленные частоты:
Таблица 4.5 - Распределение рабочих по размеру заработной платы
|
Месячная заработная плата, руб. |
Число рабочих,
|
Накопленная
частота,
|
|
8000-8500 |
10 |
10 |
|
8500-9000 |
20 |
30 |
|
9000-9500 |
48 |
78 |
|
9500-10000 |
60 |
138 |
|
10000-10500 |
42 |
180 |
|
10500-11000 |
20 |
200 |
|
Итого |
200 |
- |
Для нахождения моды в данном ряду определяем наибольшую частоту - 60. Этому значению частоты соответствует интервал 9500 - 10000. Следовательно, это и есть модальный интервал. В соответствии с формулой (4.32) мода будет равна:
т.е. наиболее часто в данной совокупности рабочих встречается заработная плата в размере 9700 руб.
Для нахождения медианы сначала определяем ее порядковый номер:
По накопленным частотам видим, что 100-я единица находится также в интервале 9500 - 10000. Ее значение определяется по формуле (4.34):
т.е. делаем вывод по медиане, что половина рабочих получает заработную плату ниже 9683,3 руб., а половина - выше.