П. 7.2. Вычислительные алгоритмы.
П. 7.2.1. Найти сумму элементов массива AразмераN
П. 7.2.2. Вычисление факториала числа N
Тема 8. Арифметические и логические основы ЭВМ
П. 1. Системы счисления.
Способ представления чисел посредством числовых знаков (цифр) называется системой счисления.
Правила записи и действий над числами в системах счисления, используемых в цифровой вычислительной технике, определяют арифметические основы цифровых ЭВМ.
Различают два основных вида систем счисления:
непозиционные
позиционные.
В непозиционной системе счисления значение числа определяется только конфигурацией цифровых символов.
Классическим примером непозиционной системы является римская система счисления.
В позиционных системах счисления значение любой цифры определяется не только конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе.
Основание позиционной системы счисления q есть количество различных цифр, используемых для представления числа.
Среди позиционных систем различают
однородные
смешанные системы счисления.
В однородных системах количество допустимых цифр для всех позиций (разрядов) числа одинаково.
Примером однородной позиционной системой является общепринятая десятичная система счисления (q=10), использующая для записи чисел десять цифр от 0 до 9.
Примером смешанной системы счисления может служить система отсчета времени, где в разрядах секунд и минут используется по 60 градаций, а в разрядах часов - 24 градации и т.д.
Любое число N, записанное в однородной позиционной системе может быть представлено в виде суммы ряда
где q - основание системы счисления (q≥2, целое положительное число);
ai - цифры системы счисления с основанием q (ai=0, 1, 2, …,q-1);
i - номер (вес) позиции (разряда) цифры (i=n,n-1,…,-m).
Принято представлять числа в виде последовательности соответствующих цифр (коэффициентов) разложения (1):
Запятая отделяет целую часть числа от дробной части.
В ВТ чаще всего для отделения целой части числа от дробной части используют точку.
Позиции цифр, отсчитываемые от точки, называют разрядами.
В позиционной СС вес каждого разряда отличается от веса (вклада) соседнего разряда в число раз, равное основанию СС.
В десятичной СС цифры 1-го разряда — единицы, 2-го — десятки, 3-го — сотни и т.д.
Может быть реализовано бесконечное множество различных систем счисления.
В цифровых вычислительных машинах в основном используются однородные позиционные системы
В ЭВМ находят широкое применение системы счисления с основанием, являющимся степенью числа 2, то есть двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
При совместном использовании различных систем счисления число записывают в скобках и в качестве индекса указывают основание системы счисления.
Например,
(15)10; (1011)2; (735)8; (1EA9F)16.
Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:
1510; 10112; 7358; 1EA9F16.
Есть еще один способ обозначения СС: при помощи латинских букв, добавляемых после числа.
Например,
15D; 1011B;735Q; 1EA9FH.
В таблице 1 приведены некоторые числа, представленные в различных СС.
|
Системы счисления | |||
|
Десятичнаяq=10: цифры 0,1,2,…, 9 |
Двоичная q=2: цифры 0,1 |
Восьмеричная q=8: цифры 0,1,2,…,6,7 |
Шестнадцатиричная q=16: 0,1,…,9,A,B,C,D,E,F |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
10 |
2 |
2 |
|
3 |
11 |
3 |
3 |
|
4 |
100 |
4 |
4 |
|
5 |
101 |
5 |
5 |
|
6 |
110 |
6 |
6 |
|
7 |
111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
А |
|
11 |
1011 |
13 |
В |
|
12 |
1100 |
14 |
С |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
|
16 |
10000 |
20 |
10 |
|
17 |
10001 |
21 |
11 |