1.1.3. Позиционные системы счисления
Системой счисления называется способ представления чисел посредством числовых знаков (цифр) по определенным правилам.
В позиционных системах счисления значение любой цифры определяется не только конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое цифра занимает в числе. Под основанием позиционной системы счисления q понимается количество различных цифр, используемых для представления числа.
Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что значение числа, выражаемое совокупностью цифр, определяется только конфигурацией цифровых символов.
Среди позиционных систем различают однородные и смешанные системы счисления. В однородных количество допустимых цифр для всех позиций (разрядов) числа одинаково. Однородной позиционной системой является десятичная система счисления (q=10), использующая для записи чисел десять цифр: от 0 до 9.
Любое число N, записанное в однородной позиционной системе, может быть представлено в виде суммы степенного ряда:
,
(1.1)
где
– основание системы счисления (
,
целое положительное число);
–цифры
системы счисления с основанием 
(
);
–номер
(вес) позиции (разряда) цифры.
При совместном использовании различных систем счисления число записывают в скобках и в качестве индекса указывают основание системы счисления. Иногда скобки опускают: 1510; 10112; 7358; 1EA9F16.
Есть еще один способ обозначения систем счисления: при помощи латинских букв, добавляемых после числа (десятичная – D, двоичная – B , восьмеричная – Q , шестнадцатеричная – H): 15D; 1011B; 735Q; 1EA9FH.
Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичное достаточно заменить каждую цифру восьмеричного (шестнадцатеричного) числа соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом. Удалить крайние нули слева, а при наличии точки — и крайние нули справа.
Переход от двоичной системы счисления к восьмеричной (шестнадцатеричной) осуществляется по триадам (тетрадам). Двоичное число разбивается на триады – по три цифры (тетрады – по четыре цифры) влево и вправо от запятой. Если крайние триады (тетерады) получаются неполными, то они дополняются нулями. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
При переводе чисел из системы счисления с основанием q1 в систему счисления с основанием q2 рассматриваются два случая. 1). Пусть q1<q2. Число в системе счисления с основанием q1 расписывается по формуле (1.1) и вычисляется сумма ряда. При этом арифметические действия выполняются по правилам системы счисления с основанием q2. 2). Пусть q1>q2. Если переводятся целые числа, то необходимо последовательно делить число в системе q1 на основание системы q2 до тех пор, пока остаток не будет являться меньшим или равным q2-1. Число в основании q2 записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. При переводе дробных чисел необходимо последовательно умножать число в системе q1 на основание системы q2, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в системе q2 (после запятой) записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.