Постановка задачи численного расчёта.

Для решения исходной задачи воспользуемся системой (26) и, для удобства, третьим уравнением

Решение будем рассматривать в области

Рассмотрим несколько примеров с конкретными значениями параметров и заданной функцией .

Пример 1. В качестве функции выберем. Тогда исходное уравнение примет вид:

В качестве начального условия возьмём функцию

Дифференцируя (47) по и полагая,, получаем следующее уравнение:

Используя метод характеристик, получаем:

А значит,

Следовательно, ,.

Из равенства

cледует .

При а значит,

То есть

Выразив , получаем:

Как видно, решение получилось глобальное, т.е. определена для любого.

Интегрируя, получаем решение исходной задачи – функцию :

Очевидно, что чем больше значение , тем ближе значения функциик нулю. Также можно заметить, что график функции будет симметричен относительно плоскостиили.

Теперь найдём решение исходного уравнения с помощью метода дополнительного аргумента.

Имеем:

Второе уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно. Тогда

Подставляя , получаем

Вспоминая, что получаем:

Т.е.

Третье уравнение можно рассматривать как линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно переменной.

Помножим обе части уравнения на

Тогда левая часть уравнения будет производной функции :

И

Тогда, интегрируя, получаем:

Следовательно, функция будет равна

Подставляя находим постоянную:

Тогда

Итак, для программы численного решения исходного уравнения, потребуется три уравнения:

Возьмём , тогда:

Программа численного решения будет основываться на методе последовательных приближений. Поэтому запишем начальные функции, которые будут использоваться для вычисления начальных приближений (подставляем в эти три уравнения ):

Уравнение

не содержит функции , поэтому можно ограничиться вычислением , и затем, пользуясь результатами вычислений, найтииз уравнения:

Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями.

Для нахождения функции будут использоваться приближённые сеточные функции. Для простоты воспользуемся равномерной сеткой.

Задача численных расчётов – найти значения функции в узлах сетки и воспроизвести результат на графике. Конечной целью является графическое воспроизведение функции .

Введём три индексные переменные , соответствующие переменным, где– число значений, ачисло значений. Также необходимо ввести не только индексные, но и физические ограничения. Для абсциссы это будет число, а для времени –. Значенияхранятся в массиве

Для того чтобы находить значения функции в конкретной точке , необходимо инициализировать три массива:

–массив значений функции

–массив значений функции

–массив значений функции

Зная, что функции определены на равномерной сетке нетрудно вычислить шаг сетки по и по:

Опишем метод, на котором основано численное интегрирование сеточных функций. Пусть дана следующая задача:

где – известная функция, а- неизвестная функция, которую нужно определить. Сама функцияпредставляетя собой некоторый график:

Известно, что физический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Будем рассматривать метод трапеций как наиболее точный при небольшой затрате процессорного времени на вычисления. Зададим сеточные функции и,будем считать параметром массива, притом. Очевидно, что при большом значении, а, следовательно, при большем количестве узлов, мы получим более точное решение. Итак, как известно, площадь трапеции определяется по формуле:

где – стороны трапеции. В нашем случае мы будем иметь следующую формулу:

Теперь можно записать окончательную формулу для :

В нашей программе, соответсвенно, все интегралы будем считать с помощью цикла .