3.5. Метод Ньютона

Задан отрезок [a,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [a,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условие F(x0)*F(x0)>0). В точке F(x0) строится касательная к кривой y= F(x) и ищется ее пересечение с осью x. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Итерационная формула имеет вид:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие F(x)<, где- заданная точность.

Рис. 3.6. Иллюстрация метода Ньютона (1)

В качестве начального приближения можно взять также середину отрезка [a,b]:

Рис. 3.7 Иллюстрация метода Ньютона(2)

Если на отрезке существования корня знаки ине изменяются, то начальное приближение, обеспечивающее сходимость, нужно выбрать из условия

, x0[a;b].

т.е. в точке начального приближения знаки функций и ее второй производной должны совпадать.

Рис. 3.13. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) вогнутый, , тогда x0=b, т.к. f(b)>0.

Если же выбрать x0=a, то итерационный процесс будет сходиться медленнее или даже расходиться (см. касательную для x0=a).

●

Рис. 3.14. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) выпуклый, f ’’(x)<0 , тогда x0 =a, т.к. f(a)<0.

Метод Ньютона в отличие от ранее рассмотренных методов используют свойства функции в виде значения производной, что значительно ускоряет итерационный процесс. При этом, чем больше значение модуля производной в окрестности корня (чем круче график функции), тем быстрее сходимость.

Рассмотрим пример ручной реализации метода. Дано уравнение x²– 4x+ 3 = 0. Известно, что корень уравнения расположен на отрезке [0,9;1,2]. Требуется уточнить значение корня методом Ньютона с точностью= 0,001.

Найдем первую и вторую производную функции F(x).F’(x)= 2x– 4;F”(x) = 2.F(0,9) = 0,21;F(1,2) = -0,36. Следовательно, в качестве начального приближения выбираем точкуx₀=a= 0,9. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

i	xi	F(xi)	F'(xi)	F(xi)<0,001
0	0,9	0,21	-2,2	нет
1	0,99545	0,00911	-2,0090909	нет
2	0,99999	0,000021	-1,00002	да

Ответ: уточненное значение корня x0,99999.

Достоинство метода:очень быстрая сходимость к заданной точности.

Недостатки: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной, сильная зависимость сходимости от вида функции и выбора начального приближения.

3.6. Метод простой итерации

Метод основан на замене исходного уравнения F(x)=0 на эквивалентноеx=(x). Функция(x) выбирается таким образом, чтобы на обоих концах отрезка [a,b] выполнялось условие сходимости(x)< 1. В этом случае в качестве начального приближения можно выбрать любой из концов отрезка. Итерационная формула имеет вид

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие F(x)<, где- заданная точность.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рисунках

Рис. 3.8 Итерационный процесс для случая 0<<1x[a,b].

Рис. 3.9 Итерационный процесс для случая -1<<1x[a,b].

Рис. 3.10. Итерационный процесс для случая>1x[a,b].

Рис. 3.11. Иллюстрация метода простой итерации

Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения

Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).

При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.

Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование чтобы обеспечивалось условие сходимости. Простейшие эквивалентные преобразования, например:

f(x) = 0 => x+f(x) = x, т.е. φ(x) = x + f(x)

или выразить явно x

f(x) = 0 => x - φ(x) = 0 => x = φ(x)

не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы сходящегося итерационного процесса.

Пусть.

Если это не так, умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу вычислить по формуле:

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

xi = xi+1− λ f(x)

где i=1,2,… - номер итерации, x0[a,b] – начальное приближение.

Рассмотрим пример ручной реализации метода. Дано уравнение x2 – 4x + 3 = 0. Известно, что корень уравнения расположен на отрезке [0,9;1,2]. Требуется уточнить значение корня методом простой итерации с точностью = 0,03.

На первом этапе нам необходимо выбрать функцию (x), удовлетворяющую условию сходимости.

Запишем исходное уравнение в виде x = x2 – 3x + 3. Тогда (x) = x2 – 3x + 3;(x) = 2x – 3;(0,9) = -1,2;(1,2) = -0,6. Условие сходимости не выполнено, поскольку-1,2> 1.

Запишем исходное уравнение в виде . ТогдаУсловие сходимости не выполнено, поскольку2,6> 1;1,5> 1.

Запишем исходное уравнение в виде Условие сходимости выполнено.

Следовательно, итерационная формула имеет вид:

В качестве начального приближения можно выбрать любой из концов отрезка, например x₀=a= 0,9. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

i	xi	F(xi)	IF(xi)I<0,03
0	0,9	0,21	нет
1	0,9525	0,0973	нет
2	0,9768	0,0469	нет
3	0,9885	0,0230	да

Ответ: уточненное значение корня x0,9885.