3. Численные методы решения нелинейного уравнения с одним неизвестным

1. Постановка задачи

Дано уравнение F(x)=0. Это - общий вид нелинейного уравнения с одним неизвестным. Решить уравнение означает найти его корни, то есть такие значения аргументаx, которые при подстановке превращают уравнение в тождество. Далеко не все уравнения решаются аналитически. Например, квадратное уравнение типаax² + bx + c= 0 легко решается аналитически и имеет два корня:. В то же время уравнение типаaxⁿ + bx + c= 0 в общем случае не имеет аналитического решения. Еще сложнее обстоит дело с уравнениями типа. В общем случае, если нелинейное уравнение не решается аналитическими методами, целесообразно применение численных методов с использованием ЭВМ.

Приближенное нахождение изолированных корней уравнения состоит из двух этапов:

1. отделение корней, т. е. установление конечных или бесконечных интервалов на области определения функции, содержащих только один корень уравнения;

2. уточнение корней, т. е. доведение их до заданной точности.

Уточнение приближенного значения корня до некоторой точности.

На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.

В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни.

Задача отделения вещественных корней решается аналитическими и графическими методами.

Графически корни можно отделить 2-мя способами:

1. Построить график функции y = f(x)и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.

y=f(x)

x

y

x₁^*

a

bx₂^* x₃^*

На графике 3 корня.

Первый корень

x* [a,b]

Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).

y=f(x)

2. Преобразовать f(x)=0 к виду (x) =(x), где(x) и(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.

На графике 2 корня.

Первый корень

x1* [a,b]

Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций (x) и(x).

Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.

На втором этапе используется один из методов уточнения (например, метод половинного деления, метод Ньютона, метод простой итерации). Рассмотрим более подробно эти методы.

2. Шаговый метод

Дано уравнение F(x)=0. Задан интервал поиска[x₀,x₁].Требуется найти интервал [a,b] длинойh, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Алгоритм метода:

0. Установить интервал [a,b] на начало интервала поиска (a=x₀).

1. Определить координату точки b(b=a+h), а также значения функции в точкахaиb:F(a) иF(b).

2. Проверить условие F(a)*F(b)<0. Если условие не выполнено - передвинуть интервал [a,b] на один шаг (a=b) и перейти к пункту 2. Если условие выполнено - закончить алгоритм.

Решением являются координаты точек aиb. Отрезок [a,b] содержит корень уравнения, поскольку функцияF(x) на его концах имеет разные знаки (рис .3.3).

Рис. 3.3 Иллюстрация шагового метода

Найдя первый корень, можно продолжить поиск корней по тому же алгоритму. В этом случае определяются отрезки, содержащие все корни уравнения на интервале поиска [x₀,x₁]. Если на всем интервале поиска ни разу не было выполнено условиеF(a)*F(b)<0, то данный интервал вообще не содержит корней.

Рассмотрим пример ручной реализации метода. Дано уравнение x²– 4x+ 3 = 0 и интервал поиска корня [0;2]. Требуется отделить первый корень уравнения шаговым методом с шагомh=0,3.Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

a	b	F(a)	F(b)	F(a)*F(b)<0
0	0,3	3	1,89	нет
0,3	0,6	1,89	0,96	нет
0,6	0,9	0,96	0,21	нет
0,9	1,2	0,21	-0,36	да

Ответ: корень расположен на интервале [0,9;1,2].

Достоинство метода: простота алгоритма. Недостаток: для достижения большой точности требуется уменьшать шаг, а это может существенно увеличить время расчета.