Доказательство.

Найдем длину

Найдем длину A

=A что и требовалось доказать

Ответ: а)АС=СВ

б)

в)

З

Дано: Δ АВС;

А(0;0), В(3;1), С(1;7).

Доказать, что Δ АВС прямоугольный.

адача №5.

В

А

С

Доказать, что треугольник с вершинами А(0;0), В(3;1), С(1;7) прямоугольный.

Доказательство.

2)

.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти вектора перпендикулярны.

Значит <В=90° , следовательно треугольник АВС прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

Задача №6.

Дано: Δ АВС;

А(-2;1), В(4;8), С(10;6).

Доказать, что Δ АВС тупоугольный.

А

В

С

Показать, что в треугольнике А(-2;1), В(4;8), С(10,6) один угол тупой.

Доказательство.

2)

.

<B- тупой, так как скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Ответ: Δ АВС тупоугольный.

З

Дано: ABCD - параллелограмм;

А(4;2), В(4;8), С(10;6).

DA и СB – диагонали

DACB=E

Найти: а) D.

б) CB и DA.

в) E.

г) CAB.

адача №7.

E

D

С

В

А

Даны три вершины параллелограмма А(4;2), В(5;7), С(-3;4)

а) Найти координаты четвертой вершины D;

б) Длины диагоналей AD и CB;

в) Точку пересечения диагоналей E;

г) Угол при вершине А.

Решение.

а) Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E - пересечения диагоналей - найдем как координаты середины отрезка AC. Обозначая их через получим, что

.

E(1; 5,5)

Зная координаты точки Е – середины диагонали AD и координаты одного из его концов А(4; 2), по формулам

где х=1, =4, у=5,5, =2, получим

.

=-2

=9

D(-2;9).

б)

в) Найдем уравнения прямых содержащие диагонали параллелограмма АD и ВС по формуле .

AD:

. 7х-28=-6у+12,

6у+7х-40=0.

ВС: -3х+15=-8у+56,

8у-3х-41=0.

Найдем точку пересечения прямых АD и ВС:

.

=6(-3)-78=-18-56=-74;

=40=-120-287=-407;

=40320-246=74;

.

E(-1; 5,5) - точка пересечения диагоналей

г) Найдем уравнение прямых АВ и АС по формуле

.

представим уравнение в виде у=кх+в

АВ:

5х-20=у-2,

у=5х-18, .

АС:

2х-8=-7у+14,

7у=-2х+22,

_,

_.

.

<A=arctg

Ответ: а) D(-2;9); б) BC=; АD=; в) Е(-1; 5,5); г) САВ=arctg

Задача №8.

С

Дано: AB: х+2у=0,

BC: х+4у-6=0;

AC: х-4у-6=0.

Найти ВAС, АBС, ВCА.

А

В

Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+2у=0, х+4у-6=0; х-4у-6=0.

Решение

x+2у=0, х+4у-6=0, х-4у-6=0 распишем эти уравнения по формуле у=кх+в

AB:

х+2у=0,

2у=-х,

. ВС:

х+4у-6=0,

4у=-х+6,

.

AC:

х-4у-6=0,

4у=х-6,

BAC=180°-28°-12°30'=139°30'.

Ответ: ABC= 12°30'; BAC=28°; BCA=139°30'.

Задача №9

Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x+2y=4 и х+2у=10 и уравнение одной из его диагоналей у=х+2

Дано:

Найти: А,В,С и D.