Задача №1

Найти координаты вершин треугольника, если стороны заданы уравнениями:

x - 2y + 3 = 0; 2x - y – 3 = 0; x + y – 3 = 0;

Дано: АВ: х-2у+3=0, АС: 2х-у-3=0, ВС: х+у-3=0

Найти: А,В и С.

Решение.

Найдем вершины треугольника АВС, как точки пересечения сторон треугольника.

т.А:

3у=-9 у=3, x-2*3+3=0, у=3, х=3

имеем: A(3;3)

т. В:

.

х-2*2+3=0, у=2, х=1

имеем: т. B(1;2)

т.С :

.

3х=6 х=2, 2+y-3=0, х=3, y=1

имеем: т. C(2;1)

Ответ: координаты вершин треугольника: А (3;3); В(1;2); С(2;1).

Задача №2

Даны вершины треугольника:;2); ;3); ;1).

Написать уравнение высоты, опущенной из точки

Решение

Дано: (1;2); (2;3); (3;1) - вершины треугольника

Решение: проведем из точки высоту к стороне запишем уравнение стороны

_{откуда имеем}

-2х+4-у+2=0,

у+2х-6=0, у = -2х+6, т.е. угловой коэффициент прямой k= -2. Тогда, угловой коэффициент перпендикулярной прямой (высоты ) будет . Найдем уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через одну точку: y-y₁ =k(x-x₁), Где x₁ и y₁ – координаты точки .

y-2= (x-1), откуда имеем 2y-x-3=0

.

откуда, преобразовав, получим

_2у-х-3=0

Ответ: уравнение высоты 2у-х-3=0

Задача №3.

Даны вершины треугольника M₁M₂M₃: М₁(-3;0), M₂(2;5), M₃(3;2).

а) Найти периметр треугольника, вершинами которого служат середины сторон.

б) Найти периметр треугольника, вершинами которого служат основания высот, проведенных из вершин M₁ M₂ M₃ к противоположным сторонам.

в) Найти периметр треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис, проведенных из вершин M₁ M₂ M₃ к противоположным сторонам.

Решение.

а) Построение:

К, Е, F – середины соответствующих сторон М₁М₃, М₁М₂, М₂М₃.

F

E

K

M₁

M₂

M₃

К – середина М₁М₃, тогда координаты середины стороны будут:

Тогда К(0;1).

Е – середина М₁М₂, тогда координаты середины стороны будут:

тогда Е(-0,5; 2,5).

F – середина М₂М₃, тогда координаты середины стороны будут:

.

тогда F(2,5; 3,5).

KF=

Аналогично: EF=; EK=. Тогда периметр треугольника будет:

б)

M₁

M₂

M₃=N=M

K

Где М₁ ?

Покажем, что треугольник прямоугольный и его три высоты не могут составить замкнутую фигуру.

Найдем уравнение стороны М₁М₂:

откуда имеем

5x+15=5y; y=x+3. Хорошо видно, что угловой коэффициент этой прямой k₁=1, а

т. к. высота М₃К перпендикулярна стороне М₁М₂, то k₂

Используя уравнение прямой через точку: у-y₁=k(x-x₁) имеем

M₃K:

y-2=-1(x-3), y-2=-x+3 откуда получаем y+x-5=0.

Уравнение пучка прямых:

.

2y=8,

y=4, то x=1, тогда М₃КМ₁М₂=К(1;4).

Найдем уравнение стороны М₂М₃:

.

-3x+6=y-5, y=-3x+11, откуда видно что угловой коэффициент этой прямой k₁=-3,

т. к. М₁N перпендикуляреныМ₂М₃, k₂

тогда уравнение стороны М₂М₃ будет , 3y-x-3=0

Уравнение пучка прямых:

.

у=11-3x, 33-9x-x-3=0. x=3 y=2, то x=3,

тогда М₁NМ₂М₃=N(3;2).

Найдем уравнение стороны М₁М₃:

.

2x+6=6y, 3x-x-3=0,

y=x+1, k₁=, то k₂ т. к. М₂M перпендикулярна М₁М₃, k₂=. Найдем уравнение стороны М₁N:

y-5=-3(x-2), y-5=-3x+6, y+3x-11=0.

Уравнение пучка прямых:

.

y=2, то x=3,

тогда М₂MМ₁М₃=N(3;2).

Имеем:

KN=; КM=; NM=0; т.е. мы доказали, что

ΔКNM не существует

_в)Построение: М₁А, М₂В и М₃С – биссектрисы углов при вершинах М₁М₂ М₃

A

C

B

M₃

M₂

M₁

Найти периметр треугольника АВС

1) .

(у-х-3)=3у-х-3;

у-х-3=3у-х-3;

у(-3)+х(-+1)+(3-3)=0 - уравнение биссектрисы

2) .

(у-х-3)=у+3х+11;

у-х-3=у+3х+11;

у(-1)+х(--3)+(-3+11)=0 - уравнение биссектрисы

3) .

3у-х-3=у+3х-11;

2у-4х+8=0 - уравнение биссектрисы

Найдем основания биссектрис, как точки пересечения сторон треугольника и с ответствующей биссектрисы :

1) =-4_;

=-20+20;

₌

.

2)

_;

;

.

. 3)

.

у =10, х=7 Следовательно С(7,0)

Найдем

Задача №4

Даны вершины равнобедренного треугольника

а)Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

б) Доказать, что биссектриса, проведенная из вершины при основании равны.

в) Медианы, проведенные из вершин при основании равны.

а)Дано: ΔАВС

Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

Доказательство.

Найдем середины сторон треугольника

1) Найдём середину отрезка A

А(2; 2)

2) Найдём середину отрезка B

В(4;0)

3) Найдём середину отрезка C(

С(2;0)

4) АС=CB треугольник АВС - равнобедренный, что и требовалось доказать

б)Дано:

Доказать, что биссектриса, проведенная из вершины при основании равны.

Доказательство.

1)

Найдём каноническое уравнение 2-ух точек M₃, M₁

4-x=y+2,

x+y-2=0

x-4=0

Найдём каноническое уравнение 2-ух точек

y+x-3=

у+(1-

_у=2,

y-2=0

.

Составим систему уравнения из K

Найдем длину.

2) Найдём каноническое уравнение 2-ух точек

у

Составим систему уравнения из

Найдем длину

что и требовалось доказать

в)Дано: ΔАВС и оказать, что медианы, проведенные из вершин при основании равны.