Примеры решения задач по векторной алгебре
.doc. Примеры решения задач по векторной алгебре
Пример 1.
Найти длину
вектора
и его направляющие косинусы.
Решение:
=
Пример 2.
Найти
скалярное произведение векторов
,
.
Решение: Находим
Так как
и
,
то
.
Пример 3.
Определить,
при каком значении m
векторы 3
+ m 
и
–
2 
будут взаимно перпендикулярны, если
= 7
;
= 4;
(
) = 
.
Решение:
Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Возьмем скалярное
произведение векторов 3
+ m 
и
– 2 
и, приравняв его нулю, найдем m:
(3
+ m 
)(
– 2 
) = 0;
3 
2– 6 
cos 
+ m
cos 
– 2 m
2 = 0;
3 49 2 – 6 7 
4 
+ m 7 
4 
–
2 m 16 = 0;
294 –
168 + 28 m – 32 m = 0,
4 m =126,
m =
= 31,5.
Пример 4.
Определить
угол между векторами
и
.
Решение:
Так как
cos ,
то cos = 
.
Имеем
2 4 + 1 6 – 3 7
= –7;
=
;
=
.
Следовательно,
cos = 
,
= arccos 
.
Пример 5.
Найти
векторное произведение векторов
и
.
Решение:
Пример 6.
Вычислить
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
Решение:
Находим векторное
произведение
на
:
Так
как модуль векторного произведения
двух векторов равен площади построенного
на них параллелограмма, то S =
=
=
49 (кв. ед.).
Пример 7. Найти площадь треугольника ABC с вершинами A (1, 2, 0), B (3, 0, –3) и C (5, 2, 6).
Решение:
Площадь треугольника
ABC
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
:
S = 
.
Найдем векторы
и
:
=
;
=
.
Их векторное произведение
,
поэтому
= 4 
= 4 
= 28,
и следовательно, S =
14 (кв.
ед.)
Пример 8.
Вычислить
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
=
6
– 3
и
= 3 
+ 2
, если 
= 3;
= 5;
(
)= 
.
Решение:
Имеем 18 (
)
–9 (
) +12 (
) – 6 (
) = 21(
),
где
.
Итак,
S =
= 21 3 5 
= 157,5
(кв. ед.)
Пример 9. Найти
смешанное
произведение
векторов
,
и
.
Решение:
Пример 10.
Показать,
что векторы
,
и
компланарны.
Решение:
Так как
,
то заданные векторы компланарны.
Пример 11. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A (2, 2, 2), B (4, 3, 3), C (4, 5, 4) и D (5, 5, 6).
Решение:
Найдем векторы
и
,
совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися в вершине A:
,
,
.
Находим смешанное произведение этих векторов:
Так как объем
пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда,
построенного на векторах
и
,
то Vпир =
(куб. ед.).