Методические указания и рекомендации

По умолчанию начало отсчета относительного времени t совмещают либо с моментом коммутации, либо с моментом появления определенного значения задающего напряжения или тока .

В качестве переменных состояния электрической цепи принимаются токи катушек и напряжения конденсаторов . Предполагается, что значения переменных состояния при : и (их начальные значения) известны.

В Приложении к настоящей работе приведен алгоритм формирования уравнений состояния в общем виде для схемы любого порядка сложности. В данной же работе исследуется цепь первого порядка сложности, что, естественно, упрощает задачу.

Численное решение уравнения первого порядка вида

.

При численном решении этого уравнения с помощью любых предназначенных для этих целей функций результат вычислений – матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов сетки t₀, t₁,…, t_n, а во втором — значения приближенного решения в соответствующих узлах. Смысл аргументов этих функций разъяснен в Приложении. Отметим лишь, что вектор D^*, содержащий правую часть дифференциального уравнения, теперь вырождается в скаляр D(t, x) = = f (x₀, t).

Точность вычислений повышается с уменьшением величины ша- га , которую следует соразмерять с постоянной времени исследуемой цепи .

Пример

Вычислить значения тока i₁(t) резистора R₁ и напряжения u₃(t) резистора R₃ двухполюсника (рис. 17.1) с параметрами его элементов: R₁ = 15 Ом, L₂ = 200 мГн, R₃ = 30 Ом на интервале [0, 100 мс], если задающее напряжение u_о (t) определяется графиком (рис. 17.2).

Рис. 17.1	Рис. 17.2

––––––––––––––––––––––––––––––

^* Derivative (англ.) – производная.

Решение

Получим уравнение состояния цепи (см. рис. 17.1). По законам Кирхгофа

i₁ = i₂ + i₃ = i₂ + G₃u₃,

u₃ = u_L = L₂ ,

R₁i₁ + u_L = u_о.

После подстановки первых двух уравнений в третье и очевидных преобразований получим уравнение состояния цепи

,

где G₁ = , G₃ = ,

.

Интегрируя это уравнение на бесконечно коротком интервале времени в пределах от t = 0– до t = 0+, находим при нулевом начальном значении тока катушки i₂(0–)= i_L (0–) = 0 стартовое значение тока катушки:

.

Выражения искомых зависимых переменных цепи – тока резистора R₁ и напряжения резистора R₃ – являются линейными функциями тока катушки и задающего напряжения :

.

Здесь См,

.

Найдем численное решение уравнения переменной состояния цепи для мс, например, с помощью функции rkfixed математического пакета Mathcad 2000 Professional, реализующей метод Рунге–Кутта с фиксированным шагом.

Исходные данные:

R₁: = 15 R₃: = 30 L₂: = 0.2 a: = –50 b: = 3.333 c₁: = 0.667 d₁: = 0.0222 c₂: = –10 d₂: = 0.667. Время импульса t_и = 0.04 с. Будем исследовать переходной процесс в течение времени импульса плюс (3…4)τ.

– стартовое значение переменной состояния цепи i₂(0+);

– выражение ее первой производной;

– вычисление значений переменной со-

стояния в тысяче равноотстоящих точках (1000) интервала

времени [0,0.1] с;

– номера точек разбиения интервала времени про-

бегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

– элементам вектора t присваивают значения элементов пер-

вого столбца матрицы Z.

– элементам вектора i₂ присваивают значения элементов вто-

рого столбца матрицы Z.

Выражения искомых зависимых переменных цепи – тока резистора R₁ и напряжения резистора R₃ есть линейные функции переменной состояния цепи i₂(t) и задающего напряжения u_o и в протоколе Mathcad выглядят так:

,

.

Результаты численного решения этой задачи представлены графиками искомых функций рис. 17.3 и 17.4 и таблицей.

u_o(t_k)

50i_2k

t_k10³

Рис. 17.3

t_k10³

u_o(t_k)

30i_2k

Рис. 17.4