2Дискретка / Метода / 4. Логика высказований

ГЛАВА 3. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и охватывающую ее логику предикатов, для построения которых существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логические исчисления. Между основными понятиями этих языков формальной логики имеет место взаимно однозначное соответствие.

3.1. Основные понятия

Под высказыванием принято понимать языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностное значение – истина или ложь – будем обозначать И и Л соответственно.

Простое высказывание – высказывание, в котором нельзя выделить часть, яв- ляющуюся высказыванием, кроме самого этого целого. Сложным (составным) называется высказывание, составленное с помощью логических связок.

Отрицанием (инверсией) высказывания P называется высказывание, истин- ное тогда и только тогда, когда высказывание P ложно. Обозначается ←P.

Конъюнкцией (операцией «И», логическим произведением) двух высказываний

P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается P Q.

Дизъюнкцией (операцией «ИЛИ», логической суммой) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Обозначается P Q.

Импликацией (логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P истинно, а Q ложно. Обозна- чается P Q. При этом высказывание P называется посылкой импликации, а высказывание Q – заключением.

Эквивалентностью (эквиваленцией, равнозначностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения P и Q совпадают. Обозначается P Q.

Неравнозначностью (исключающим «ИЛИ», сложением по модулю 2) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, ко- гда истинностные значения P и Q не совпадают. Обозначается P Q.

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы: высказыва- тельные переменные – обычно заглавные латинские буквы; логические символы ←, , , , , ; символы скобок (, ).

Последовательность символов в логике высказываний называется формулой, если она удовлетворяет следующему определению:

1)любая высказывательная переменная – формула;

2)если A и B – формулы, то ←A, A B, A B, A B, A B, A B, (A) – формулы;

3.2. Алгебра логики высказываний

Если каждой высказывательной переменной, входящей в формулу, придавать истинностное значение И и Л, то формула будет определять истинностную функ-

цию, т.е. функцию, определенную на множестве {И,Л}n (n – число высказыватель-

ных переменных) со значениями в множестве {И, Л}. Если, кроме того, принять И=1, Л=0, то любую формулу логики высказываний можно интерпретировать как формулу логики переключательных функций. По аналогии с переключательными функциями, для любого высказывания можно построить таблицу истинности.

Упорядоченный набор высказывательных переменных <X1, X2, ..., Xk> назовем списком переменных формулы A, если все переменные формулы A содержатся в этом наборе. В списке переменных формулы A часть переменных может быть фик- тивной, т.е. может не входить в формулу A явно. Очевидно, что если список пере- менных для формулы A содержит k переменных, то таблица истинности для фор- мулы A будет содержать 2k строк.

Таким образом, мы установили соответствие между алгеброй переключатель- ных функций и алгеброй логики высказываний. В алгебре логики высказываний применим весь аппарат алгебры переключательных функций: способы проверки истинности формулы (таблица истинности или равносильные преобразования), эк- вивалентные соотношения. В алгебре логики высказываний, также как и в булевой алгебре, определены понятия:

–тавтология (тождественно-истинная формула – ТИФ);

–выполнимая формула (условно-истинная формула – УИФ);

–опровержимая формула (условно-ложная формула – УЛФ);

–невыполнимая формула (тождественно-ложная формула – ТЛФ).

Алгебра логики позволяет легко проверять правильность рассуждений, со- стоящих из высказываний. Для этого надо построить логическую формулу умозак- лючения следующим образом: все посылки следует соединить связкой «и» ( ), и полученную обобщенную посылку – связкой «если …, то…» ( ). Если логическая формула умозаключения – ТИФ, то заключение верно, в противном случае невер-

но. Например, если P1, P2, ..., Pn – посылки, а D – заключение, то для определения

правильности рассуждения по схеме P1, P2 ,…, Pn , т.е. утверждения о том, что из

D

данных посылок P1, P2, ..., Pn следует заключение D, требуется установить тожде- ственную истинность формулы (P1 P2 ... Pn) D.

3.3.Применение к естественному языку

Вформальной логике изучается строение сложных логических высказываний, выраженных формулами, вне зависимости от содержания составляющих их про- стых высказываний. Очевидно, что содержательных интерпретаций у любой фор- мулы бесконечно много. Переводя выражения обычного языка в логические фор- мулы, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности.

Вобычном языке мы не употребляем скобок для указания того, как нужно со- четать различные части сложной фразы, используя иногда взамен довольно тонкие средства. «Если Джонс присутствует (Д) или если Уильямс выскажется за наше

предложение (У) и Старк не станет возражать (С), то наше предложение будет при- нято (П)» Как надо переводить? (а) (Д У) ←С П или так: (в) Д (У ←С) П. В

письменном языке отсутствие запятой перед «и» решит в пользу (в); в устной же речи, чтобы выразить именно (а), надо заменить «и» на «ну и конечно, если» [4]. Как видим, перевод обычного языка в логические символы не является механиче- ским делом. Переводчик прежде всего должен как следует понять переводимый текст. Если автором является он сам, он должен выбрать такую интерпретацию, какую имел в виду. Если же автором является кто-то другой, то при наличии со- мнительных слов необходимо восстановить намерения автора.

Хотя в исчислении высказываний A B равносильно B A, фразы «у Джейн ро- дился ребенок, и она вышла замуж» и «Джейн вышла замуж, и у нее родился ребе- нок» будут пониматься знакомыми Джейн по-разному. В этом примере порядок высказываний в конъюнкции наводит на мысль о следовании во времени или о причинно-следственной связи. Следование во времени можно выразить с помощью классической логики, если пользоваться символизмом исчисления предикатов. Пе- ревод же посредством A B проще и достаточен для логического анализа, если в нем не участвует идея времени (или причинности).

Список наиболее часто встречающихся выражений, соответствующих логическим связкам

Другая трудность перевода состоит в двусмысленности определенных терми- нов, когда их надо переводить связками:

Составное высказывание «Сегодня понедельник или вторник» состоит из двух

Высказывания A, B соединены связкой «или» очевидно в разделительном смысле, т.е. – . Таким образом, данное высказывание представимо логической

Но в отличие от предыдущего связка «или» использована здесь не раздели- тельном смысле, поэтому – и логическая формула имеет вид A B.

Если A и B таковы, что известно или неявно предполагается ←(A B), то вклю- чительное и исключительное «A или B» равносильны и естественно употреблять наиболее простой перевод, т.е. A B. Точно так же если в лекции перед математи- ческой аудиторией сказать «n – четное (A) или нечетное простое число (B)», то безразлично, что имелось в виду A B или (A B) ←(A B). Но если аудитория не знает, что число не может быть чётным и нечётным одновременно, это перестает быть безразличным.

3.4. Исчисление высказываний (ИВ)

Чтобы задать формальную аксиоматическую теорию, необходимо опреде-

лить:

1)некоторое счётное множество символов (алфавит) – символов теории Т (ко- нечные последовательности символов теории Т называются выражениями теории Т);

2)подмножество выражений теории Т, называемых формулами;

3)подмножество формул теории Т, называемых аксиомами;

4) конечное множество R1, R2, ..., Rm отношений между формулами, называе- мых правилами вывода.

Если A и формулы A1, A2, ..., Ai находятся в некотором отношении Rk, то A на- зывается непосредственным следствием из формул A1, A2, ..., Ai, полученным по правилу Rk.

Выводом в теории Т называется всякая последовательность ϕ1, ϕ2, ..., ϕn фор- мул такая, что для любого i формула ϕi есть либо аксиома теории Т, либо непо- средственное следствие каких-либо предыдущих формул.

Формула A называется теоремой (греч. theorema – рассматриваю, обдумы- ваю) теории Т, если в ней существует вывод, в котором последней формулой явля- ется A.

Формула A называется следствием множества формул Г тогда и только то- гда, когда существует такая последовательность формул ϕ1, ϕ2, ..., ϕn, что ϕn есть A, и для любого i, 1≤i≤n, ϕi есть либо аксиома, либо формула из Г, либо непосредст- венное следствие некоторых предыдущих формул. Эта последовательность назы- вается выводом A из Г. Элементы Г называются посылками вывода или гипотеза- ми. Сокращенно можно записать Г A. Если множество Г состоит их формул B1, B2, ..., Bk, то пишут B1, B2, ..., Bk A, и говорят, что формула A выводима из формул B1, B2, ..., Bk. Если Г – пустое множество, то Г A тогда и только тогда, когда A есть теорема. В этом случае принято писать A и говорить, что формула A дока- зуема, а сам вывод (последовательность формул) называют доказательством.

Формальная аксиоматическая теория называется полной, если в ней доказуема любая тавтология.

Формальная аксиоматическая теория называется непротиворечивой, если в

ней не существует вывода формулы A такой, что одновременно доказуемы форму- лы A и ←A.

Формальную аксиоматическую теорию называют полной в узком смысле, если добавление любой невыводимой формулы в качестве схемы аксиом приводит к противоречивой системе.

Одним из важных примеров аксиоматической теории может служить исчис- ление высказываний (один из возможных способов формализации логики выска- зываний). Определим эту формальную аксиоматическую теорию следующим обра- зом:

1. Алфавит ИВ образуют буквы A, B, C... и т.д. (возможно с индексами), ко- торые называются пропозициональными переменными, логические символы (связ- ки) ←, , , , а также вспомогательные символы скобок (, ).

2. Множество формул ИВ определяется индуктивно:

а) все пропозициональные переменные являются формулами ИВ;

б) если A и B формулы ИВ, то (←A), (A B), (A B), (A B) – формулы ИВ;

в) выражение является формулой ИВ тогда и только тогда, когда это может быть установлено с помощью пунктов а) и б).

Договоримся далее опускать внешние скобки у формулы

3.Аксиомы ИВ (система Клини).

1)A(B A)

2)(A B)((A(B C))(A C))

3)A(B A B)

8)(A C)((B C)(A B C))

9)(A B)((A ←B) ←A)

10)←←A A

4.Единственным правилом вывода в ИВ является привило заключения

(modus ponens) : если A и A B – выводимые формулы, то B – также выводимая

формула. Символическая запись: A, A B .

B

Выводом A1, A2,..., An A называется последовательность формул ϕ1, ϕ2,..., ϕm, A, в которой любая формула либо является одной из формул A1, A2,..., An (т.е.

посылкой), либо аксиомой, либо подстановкой в аксиому, либо получается из пре-

дыдущих формул по правилу вывода.

Исчисление высказываний - непротиворечивая, полная аксиоматическая тео- рия, причем ИВ полно и в узком смысле.

Примеры формальных выводов и доказательств в ИВ.

I. Построить вывод D C D

2)D C D аксиома 7, A→C, B→D,

3) C D m.p. 1 и 2.

II. Построить вывод A B, B C A C

III. Доказать D D

Теорема о дедукции. Если имеется вывод формулы B из последовательности фор- мул Γ, A, то можно построить вывод формулы A B из последовательности формул Γ (символически: Если Γ, A B, то Γ A B), где Γ – набор некоторых формул

A1, A2,..., An.

4Докажем эту теорему конструктивно, т.е. предложим алгоритм построения вывода Γ A B из имеющегося вывода Γ, A B.

Пусть имеется последовательность формул ϕ1, ϕ2,..., ϕm, B, является выводом Γ, A B. Далее будем называть этот вывод вспомогательным. На первом шаге нахождения результирующего вывода припишем спереди к каждой из формул вспомогательного вывода символы A, добавляя, если это необходимо, скобки. Получим последовательность Aϕ1, Aϕ2,..., Aϕm, A B с последней формулой A B, которая и должна быть последней в результирующем выводе. Очевидно, эта последовательность может не являться выводом из A1, A2,..., An. Однако можно пе- ред каждой формулой Aϕi, i = 1,m вставить дополнительные формулы так, чтобы превратить ее в вывод из A1, A2,..., An. Выбор дополнительных формул при каждом i зависит от того, чем оправдывается наличие формулы ϕi во вспомогательном вы- воде. Возможны следующие случаи:

1)ϕi – аксиома или подстановка в аксиому;

2)ϕi – одна из посылок A1, A2,..., An;

3)ϕi=A;

4)ϕi – modus ponens ϕx и ϕy, где x<i, y<i, причем ϕy=ϕxϕi.

Рассмотрим для каждого из четырех случаев, на какую последовательность

Случай 4:

Пусть ϕi – modus ponens ϕx и ϕy, где x<i, y<i, причем ϕy=ϕxϕi. Пусть также в результирующем выводе формула Aϕx имеет номер p, а формула A(ϕxϕi) имеет номер q.

1)(Aϕx)((A(ϕxϕi))(Aϕi)) акс.2, A→A, B→ϕx, C→ϕi ,

2)(A(ϕxϕi))(Aϕi) m.p. p и 1,

3)Aϕi m.p. q и 2.3

Следствие. A1, A2,..., An A тогда и только тогда, когда

(A1(A2 ...(An-1(An A))...)).

Пример 34. Построить вывод A B ←B ←A.

4Рассмотрим на этом примере алгоритм, приведенный в доказательстве тео- ремы о дедукции.

Строим таблицу истинности для формулы ((A B)(←B ←A)).

Отметим, что алгоритм, приведенный в доказательстве теоремы о дедукции, дает лишь способ получения из вспомогательного вывода Γ, A B вывода Γ A B, но не гарантирует оптимальности результирующего вывода. Очень часто по- лученный вывод можно сократить.

В качестве оптимального (с минимальным количеством формул) вывода A B ←B ←A (получен сокращением основного вывода) можно взять следующий вывод:

ГЛАВА 4. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

Предикат (лат. praedicatum – сказанное) – то, что высказывается в суждении об объекте. Предикат отображает наличие того или иного признака у предмета.

В математической логике n-местным предикатом называется функция P(x1, x2, ..., xn), переменные которой принимают значения из некоторого множества M (обычно оно определяется математическим контекстом), а сама она принимает два значения: И (истинное) и Л (ложное), т.е.

P(x1, x2,..., xn): M n →{И,Л} .

Предикаты обозначаются прописными буквами латинского алфавита. Иногда бывает удобно указывать число переменных у предикатов. В таких случаях у символов предикатов пишут верхний индекс, который и указывает число аргументов, например: P(n) (x1, x2, ..., xn) – n-местный предикат. Высказывания счи- таются нуль-местными предикатами.

Над предикатами можно производить обычные логические операции. В ре- зультате этих операций получаются новые предикаты.

Кроме операций логики высказываний, для построения новых предикатов ис- пользуются операции связывания квантором.

Кванторы (лат. quantum – сколько) – описывают отношения внутренней структуры высказывания, т.е. отношения между субъектом и предикатом, и несут информацию о количественной характеристике логического выражения, перед ко- торым они поставлены. Понятие квантора ввел в математическую логику немецкий логик и математик Готтлоб Фреге (1848–1925) в книге «Исчисление понятий»

(1879).

Квантор всеобщности. Пусть P(x) – некоторый предикат, принимающий зна- чение И или Л для каждого элемента множества M. Тогда под выражением xP(x) будем подразумевать высказывание истинное, когда P(x) истинно для каждого элемента x из множества M, и ложное – в противном случае. Читается это выраже-

ние так: «для всех x P(x)». Это высказывание уже не зависит от x. Символ назы- вается квантором всеобщности (A – первая буква немецкого слова alle – все).

Квантор существования. Пусть P(x) – некоторый предикат. Под выражениемxP(x) будем понимать высказывание истинное, когда существует элемент множе- ства M, для которого P(x) истинно, и ложное – в противном случае. Читается это выражение так: «существует x такое, что P(x)». Это высказывание уже не зависит от x. Символ называется квантором существования (E – первая буква немецкого слова existieren – существовать).

В таблице на стр.61 приведены различные определения кванторных высказы- ваний. Таблица состоит из 4-х больших клеток, в каждой из которых приведено по 4 эквивалентных между собой высказывания, причем первым (увеличено) из них является наиболее простое (для понимания) высказывание. Из таблицы видно, что

наличие слов «для всех» («существует») не означает, что высказывание общее

(частное), так же символы и сами по себе тоже не дают такую информацию. Далее будет показано, что при построении доказательства очень важно знать, об- щим или частным является утверждение (предикат), которое собираемся доказать.

Если область значений предметных переменных есть конечное множество мощности n, то можно считать, что

Переход от P(x) к xP(x) или xP(x) называется связыванием переменной x, или навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P), или квантифи- кацией переменной x.

Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называется свободной. Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения. Выражение, на которое навешивается квантор x или x, называется областью действия квантора; все вхождения переменной x в это выражение являются связанными.

Выражения xP(x) и xP(x) не зависят от x и при фиксированных P и M пред- ставляют собой конкретные высказывания относительно всех x предметной облас- ти M.

Пример 35. Пусть P(x)=«x делится на два», Q(x)=«x делится на три». Тогдаx(P(x) Q(x)) – истинное высказывание, так как есть число 6, которое делится и на 2 и на 3; x(P(x) Q(x)) – ложное высказывание, так как для числа 5 высказывание

P(x) Q(x) ложно.

Логика предикатов, как и логика высказываний, может быть построена в виде

алгебры логики предикатов и исчисления предикатов.