§ 7.2. Связь между координатами вектора - образа и вектора - прообраза. Ядро и образ линейного оператора

Линейный оператор , действующий из пространства в пространство , ставит в соответствие каждому вектору определенный вектор из . При этом вектор называется образом вектора , а вектор - прообразом вектора при отображении .

Пусть и - некоторые базисы линейных пространств и соответственно. Тогда , и координаты вектора - образа связаны с координатами вектора - прообраза соотношением

, (7.2.1)

в котором - матрица линейного оператора в паре базисов и .

В случае, когда пространства и совпадают, базисы и также совпадают, и формула (7.2.1) принимает вид

. (7.2.2)

Образом (областью значений) линейного оператора называется множество всех элементов вида . Образ линейного оператора является подпространством пространства и обозначается . Размерность образа называется рангом оператора и обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество всех векторов пространства , которые переводятся оператором в нулевой вектор пространства . Ядро линейного оператора является подпространством пространства и обозначается . Размерность ядра называется дефектом оператора и обозначается .

Сумма ранга и дефекта оператора равна размерности пространства .

Ранг линейного оператора равен рангу матрицы этого оператора.

Базис системы векторов - столбцов матрицы линейного оператора образует систему координатных столбцов базиса образа . Базис подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей оператора образует базис ядра .

Пример 1. Из пространства с базисом в пространство с базисом действует линейный оператор , имеющий в данной паре базисов матрицу . Найдите столбец координат в базисе образа вектора и столбец координат в базисе прообраза вектора .

Решение. Столбец координат образа вектора в базисе находим непосредственно по формуле (7.2.1):

.

Для определения прообраза вектора по той же формуле (7.2.1) имеем

,

или, что то же самое,

Отсюда находим все прообразы вектора , где - свободная переменная, принимающая произвольные значения.

Пример 2. В пространстве с базисом линейный оператор переводит векторы , в векторы , соответственно. Найдите матрицу оператора в базисе .

Решение. Пусть - матрица оператора в базисе . Тогда из условий , по формуле (7.2.2) имеем ,

или, в подробной записи,

Отсюда получаем Следовательно, .

Пример 3. Найдите базис ядра и базис образа линейного оператора пространства , если этот оператор задан матрицей .

Решение. При помощи элементарных преобразований над строками матрицы приведём её к ступенчатому виду:

.

Отсюда следует, что . Базис составляют, например, векторы и .

Дефект оператора найдём по формуле

,

т.е. фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей будет состоять из одного вектора. Общее решение однородной системы можно записать в виде . Полагая получаем базисный вектор .

7.2.1. Линейный оператор переводит вектор в вектор. Найдите образ вектора и прообраз вектора , если

,

, ;

,

, ;

,

, .

7.2.2. Линейный оператор в паре базисов и имеет матрицу . Найдите прообраз вектора , если

, ;

б) , ;

в) , .

7.2.3. Выясните, существует ли линейный оператор двумерного пространства, переводящий векторы , соответственно в векторы , , и найдите матрицу этого оператора в базисе , :

а)

б)

в)

7.2.4. Выясните, существует ли линейный оператор трехмерного пространства, переводящий векторы , , соответственно в векторы , , , и найдите матрицу этого оператора в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов:

а)

б)

7.2.5. Для указанных линейных операторов пространства найдите дефект и ранг, а также постройте базисы ядра и образа. Каждый оператор описывается своим действием на произвольный вектор :

а)

б)

в)

7.2.6. Найдите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .

7.2.7. В пространстве рассмотрите разностный оператор

где - фиксированное число, отличное от нуля. Найдите его образ и ядро.

7.2.8. Найдите образ и ядро оператора проектирования (см. задачу 7.1.2) на параллельно и оператора отражения (см. задачу 7.1.3) в параллельно .

7.2.9. Найдите базис ядра и базис образа линейного оператора из , заданного в некотором базисе матрицей :

а) ; б) ; в) .

7.2.10. Найдите размерность линейного пространства всех линейных операторов, действующих в - мерном линейном пространстве и постройте базис пространства .