Светлой памяти

Чубича Михаила Петровича

посвящается

Глава 7 линейные операторы в линейных пространствах

§ 7.1. Определение линейного оператора.

Матрица линейного оператора

Пусть и - линейные пространства над одним и тем же полем . Будем говорить, что из пространства в пространство действует оператор или, что то же самое, отображение , преобразование , если каждому вектору по какому - либо правилу поставлен в соответствии определенный вектор из .

Наиболее простыми являются линейные операторы. Отображение называется линейным оператором (линейным преобразованием), действующим из в , если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

;

, .

Совокупность условий 1 и 2 равносильна следующему условию:

. (7.1.1)

Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из линейного пространства в линейное пространство . Два линейных оператора и из называются равными, если

. (7.1.2)

Множество будет линейным пространством над полем , если определить сумму операторов и произведение оператора на число соотношениями

(7.1.3)

(7.1.4)

Нулевым вектором пространства будет нулевой оператор из в, т.е. оператор, переводящий любой вектор линейного пространства в нулевой вектор линейного пространства .

В случае, когда , линейный оператор называется линейным преобразованием пространства .

Пусть - оператор из , и пусть и - фиксированные базисы линейных пространств исоответственно. Разложим векторы по базису :

,

, (7.1.5)

.

Из коэффициентов этих разложений составим - матрицу

. (7.1.6)

Матрица называется матрицей линейного оператора в паре базисов и . Заметим, что столбцами матрицы служат столбцы координат векторов в базисе , т.е. строки коэффициентов из разложений (7.1.5).

Если , то при нахождении матрицы линейного оператора фиксируются векторы одного базиса , по которому раскладываются . Записанные столбцами коэффициенты разложений образуют квадратную матрицу порядка .

Равные линейные операторы в одном и том же базисе имеют одинаковые матрицы.

Матрицей суммы линейных операторов в фиксированных базисах является сумма матриц слагаемых операторов в тех же базисах.

При умножении линейного оператора на число его матрица умножается на то же число.

Если и - соответственно, - и - мерное линейные пространства над одним полем , то линейное пространство изоморфно линейному пространству - матриц с элементами из с операциями сложения матриц и умножения их на числа из поля .

Пример 1. Оператор называется тождественным (единичным) оператором, если

. (7.1.7)

Покажите линейность оператора и постройте его матрицу в базисе .

Решение. В силу того, что

,

убеждаемся в линейности тождественного оператора. Поскольку

получаем, что

.

В любом базисе тождественный оператор имеет единичную матрицу.

Пример 2. Докажите, что преобразование

пространства линейно и найдите его матрицу в каноническом базисе.

Решение. Пусть

и - произвольные векторы из . Тогда

т. е. преобразование пространства линейно. Канонический базис линейного пространства составляют векторы

. Из определения оператора вытекает, что

Таким образом,

Пример 3. Покажите, что умножение квадратных матриц второго порядка слева на данную матрицу является линейным преобразованием пространства и найдите матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц

Решение. По определению преобразования для любых матриц и любых чисел имеем:

.

Перейдем к построению матрицы оператора в данном базисе. В силу того, что

получаем:

.

7.1.1. Какую матрицу имеет нулевой оператор в любых базисах пространств и ?

7.1.2. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Докажите, что оператор пространства , который каждому вектору с разложением , где , ставит в соответствие вектор этого разложения, является линейным. Оператор называется оператором проектирования пространства на параллельно .

Найдите матрицу этого оператора в базисе, полученном объединением базисов подпространств и .

7.1.3. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Докажите, что оператор , который каждому вектору с разложением , где , ставит в соответствие вектор , является линейным. Оператор называется отражением пространства в параллельно .

Найдите матрицу этого оператора в базисе, полученном объединением базисов подпространств и .

7.1.4. Докажите, что всякий линейный оператор, действующий в одномерном пространстве, сводится к умножению всех векторов пространства на фиксированное (для данного оператора) число.

7.1.5. Верно ли, что линейный оператор переводит:

а) линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую;

б) линейно независимую систему векторов в линейно независимую?

7.1.6. Выясните, какие из следующих преобразований пространства линейны, и в случае линейности найдите их матрицы в каноническом базисе:

а) б)

в) г)

7.1.7. Укажите, какие из приведенных преобразований пространства являются линейными операторами, и найдите их матрицы в базисе . Каждое преобразование описывается своим действием на произвольный многочлен :

а) б)

в) , где и - фиксированные числа, причем ;

г) Этот оператор в дальнейшем называется оператором дифференцирования.

7.1.8. Какова матрица оператора дифференцирования, действующего в линейном пространстве , в базисе , где - действительное число?

7.1.9. Покажите, что умножение квадратных матриц второго порядка справа на данную матрицу является линейным преобразованием пространства , и найдите матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц :

7.1.10. Проверьте линейность оператора , заданного формулой , где и постройте матрицу этого оператора в базисах

и

7.1.11. В пространстве фиксирован базис, состоящий из матриц

(в указанном порядке). Запишите в этом базисе матрицу оператора транспонирования, т.е. оператора, который каждой матрице ставит в соответствие транспонированную матрицу.

Как изменится эта матрица, если в базисе поменять местами векторы и ?