3Линейка / Задачник-1 / Ответы и указания (1.2)
.DOC
является
подпространством размерности
,
базис образуют, например, матрицы
,
где
-
матрица, элементы которой
,
а все остальные элементы- нули.
3.5.2.
-
пространство диагональных матриц;
.
3.5.3
Базис
,
например,
,
базис
,
например,
и
базис
,
например,
,
базис
,
например,
состоит
из векторов
и
базис
,
например,
,
базис
,
например,
и
3.5.6.
3.5.8. Нет.
3.5.9.
.
В качестве дополнительного подпространства
можно взять, например,
и
4.1.1.
4.1.2. Ранг либо не изменится, либо изменится на единицу.
4.1.3.
Ранг изменится не более чем на единицу;
не более чем на
.
4.1.5.
Нет. Контрпример:
4.1.7.
3;
2;
3.
4.1.8.
при
,
при
;
при
,
при
,
не может быть ни при каком
;
при
,
при
.
4.1.9.
Общее решение:
;
фундаментальная система решений:
и
;
общее
решение:
;
фундаментальная система решений:
,
,
;
общее
решение:
;
фундаментальная система решений:
,
;
общее
решение:
фундаментальная система решений:
,
.
4.1.10.
Строки матрицы
не образуют, строки матрицы
образуют.
4.2.1.
;
система
решений не имеет;
;
.
4.2.2.
При
система несовместна
при
система совместна и ее общее решение
таково:
;
при
система имеет единственное решение:
,
при
система несовместна;
система
совместна при любом значении
,
при
общее решение имеет вид:
,
при
общее решение таково:
;
при
система имеет единственное решение:
,
при
система несовместна,
при
система совместна, и ее общее решение:
;
при
система имеет единственное решение:
,
при
общее решение:
,
при
система
несовместна.
4.2.3.
5.1.2.
Указание:
пусть
-
базис данного линейного пространства.
Для произвольных векторов
и
положим
.
Проверьте, что все аксиомы скалярного
произведения выполняются.
5.1.6.
Определяет;
определяет, если
не
определяет;
определяет.
5.1.7.
Указание:
необходимость условия
получите, рассматривая скалярный квадрат
вектора вида
как квадратный трехчлен от
.
5.1.8.
Да, если
;
нет, при
.
5.1.10.
.
5.2.1.
Не изменится;
заменится
на дополнительный (до
);
не
изменится.
5.2.2.
.
Таким образом, треугольник равнобедренный.
Угол между
и
равен
,
так что треугольник прямоугольный. Угол
между
и
равен
и является внутренним углом треугольника.
Угол между
и
равен
,
поэтому внутренним углом треугольника
является угол между
и
.
5.2.10.
.
5.2.11.
Если
,
то
.
.
5.2.13.
Например, можно добавить векторы
5.2.14.
Например, вектором
например,
5.2.15.
5.3.2.
Например,
5.3.3.
Например,
5.3.4. Одномерное подпространство многочленов, все коэффициенты которых равны.
5.3.5.
5.4.2. Указание:
Как и в задаче 5.1.2., фиксируем базис
и для произвольных векторов
и
полагаем
5.4.8.
.
6.1.1. Нет.
6.1.2.
;
;
2)
;
.
6.1.3.
6.1.4.
;
6.1.5.
6.1.6.
6.2.1.
;
;
;
;
;
;
;
.
6.2.2.
;
;
таких
не существует;
.
6.2.5.
Таких
не существует;
;
.