§ 5.3. Ортогональное дополнение. Ортогональные суммы подпространств

Два подпространства называются ортогональными, если каждый вектор одного подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства . Ортогональность подпространств и обозначается

Для того чтобы вектор был ортогонален к подпространству необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален ко всем векторам какого-либо базиса подпространства

Для того чтобы два подпространства были ортогональными, необходимо и достаточно , чтобы каждый вектор какого-либо базиса одного подпространства был ортогонален ко всем векторам какого-либо базиса другого подпространства.

Сумма подпространств называется ортогональной и обозначается если подпространства попарно ортогональны.

Ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является прямой суммой.

Совокупность всех векторов, ортогональных к линейному подпространству евклидова пространства называется ортогональным дополнением подпространства и обозначается

Евклидово пространство есть ортогональная сумма любого своего линейного подпространства и его ортогонального дополнения т.е.

Любой вектор из евклидова пространства всегда можно представить, причём единственным образом, в виде

где принадлежит некоторому подпространству , ортогонален к Вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство а - перпендикуляром, опущенным из на

Пример 1. Докажите, что

Доказательство. Пусть Тогда В силу того, что где , а . Следовательно, Если в последнем равенстве выбрать то из условия заключаем, что Полагая получаем, что или Другими словами, из условия вытекает, что Пусть теперь . Тогда , т.к. и . Значит, . Таким образом, мы получили, что если , то . И, наоборот, если , то . Сказанное равносильно равенству .

Пример 2. Линейное подпространство задано системой уравнений:

Найдите базис ортогонального дополнения .

Решение. Найдем базис . Для этого решим данную однородную систему уравнений:

- свободные переменные;

Таким образом, общее решение имеет вид: . Выбирая значения свободных переменных в соответствии с таблицей

получаем базисные векторы подпространства :

.

Поскольку , а ортогональная сумма есть прямая сумма,

Таким образом, определяется системой уравнений

Найдя фундаментальную систему решений этой однородной системы уравнений, получим базис .

.

- свободные переменные;

.

Общее решение имеет вид: .

Выбирая значения свободных переменных в соответствии с таблицей

получаем базис ортогонального дополнения :

.

Пример 3. Найдите ортогональную проекцию и перпендикуляр , опущенный из вектора на подпространство , порожденное векторами и .

Решение. Система векторов образует базис подпространства . Т.к. такие, что . Кроме того, справедливо (причем единственное) представление , в котором . Последнее означает, что . Отсюда

т.е. получили неоднородную систему уравнений относительно и , которая в матричном виде выглядит так:

.

Поскольку

система эквивалентна следующей:

.

Отсюда

Следовательно,

5.3.1. Докажите, что ортогональное дополнение к линейному подпространству евклидова пространства обладает свойствами:

если , то

Здесь - нулевое подпространство, содержащее лишь нулевой вектор.

5.3.2. Найдите базис ортогонального дополнения линейной оболочки следующей системы векторов пространства :

5.3.3. Найдите ортогональный базис ортогонального дополнения , если

и

5.3.4. В пространстве многочленов степени с действительными коэффициентами скалярное произведение многочленов и определяется формулой

.

Найдите ортогональное дополнение подпространства всех многочленов, удовлетворяющих условию

5.3.5. Найдите ортогональную проекцию и перпендикуляр, опущенный из вектора на подпространство :

натянуто на векторы

натянуто на векторы

задано системой уравнений:

натянуто на векторы