3Линейка / Задачник-1 / Глава 6

Глава 6

Квадратичные формы

§ 6.1. Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к

каноническому виду методом Лагранжа

Билинейной формой в действительном линейном пространстве называется числовая функция удовлетворяющая следующим двум условиям:

Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов выполняется равенство

.

Скалярное произведение в евклидовом пространстве является примером симметричной билинейной формы.

При заданном базисе всякая билинейная форма в мерном действительном линейном пространстве может быть записана в виде

где - координаты вектора а - координаты вектора в данном базисе. Числа зависят от выбора базиса и вычисляются по формулам

Матрица называется матрицей билинейной формы в базисе .

Билинейная форма является симметричной тогда и только тогда, когда её матрица симметричная.

Пусть и суть матрицы билинейной формы в базисах и соответственно. Тогда

где - матрица перехода от базиса к базису .

Для того чтобы получить матрицу нужно разложить векторы по базису :

и составить из коэффициентов этих разложений таблицу:

.

Пусть - симметричная билинейная форма в линейном пространстве . Числовая функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.

При заданном базисе всякая квадратичная форма в действительном линейном пространстве выражается формулой

где - координаты вектора в данном базисе и

Пусть в мерном действительном линейном пространстве задана произвольная квадратичная форма Тогда в существует базис в котором эта квадратичная форма имеет вид

где - координаты вектора в базисе При этом квадратичную форму называют каноническим видом квадратичной формы Матрицей формы является диагональная матрица

.

Базис пространства в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называют каноническим базисом этой квадратичной формы.

Пример 1. Покажите, что отображение является симметричной билинейной формой в пространстве Найдите матрицу билинейной формы для случая в базисе

Решение. Покажем, что отображение является билинейной формой. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется следом матрицы и обозначается Известно, что

Поэтому

Следовательно, по определению является билинейной формой.

В силу того, что

отображение является симметричной билинейной формой.

Построим матрицу билинейной формы в базисе . По формулам находим:

Учитывая, что , окончательно получаем:

.

Пример 2. Приведите методом Лагранжа к каноническому виду квадратичную форму и постройте канонический базис этой квадратичной формы.

Решение. Основная идея метода Лагранжа заключается в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной. Соберем в квадратичной форме все члены, содержащие , и дополним их сумму до полного квадрата:

Далее нужно в квадратичной форме от переменных группировать все слагаемые, содержащие , и дополнять их сумму до полного квадрата. Поскольку в нашем случае коэффициент при равен нулю, сделаем замену:

.

В результате получим:

Положив в последнем выражении

,

записываем канонический вид квадратичной формы

и переходим к построению канонического базиса. Известно, что координаты вектора в старом и новом базисах связаны посредством матрицы перехода соотношением

.

В нашем случае

Отсюда

Столбцы матрицы составляют канонический базис квадратичной формы .

Нетрудно проверить, что .

6.1.1. Является ли билинейной формой в - мерном действительном линейном пространстве функция , где - первые координаты векторов и в некотором базисе?

6.1.2. Запишите матрицу билинейной формы в заданном базисе действительного линейного пространства , если:

базис:

2. базис:

6.1.3. Билинейная форма называется кососимметричной, если для любых векторов выполняется равенство

.

Убедитесь, что отображение , определяемое равенством

,

является кососимметричной билинейной формой в пространстве .

Найдите её матрицу в базисе

6.1.4. Запишите матрицу билинейной формы:

6.1.5. Найдите билинейную форму, если известна ее матрица

6.1.6. Методом Лагранжа приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и укажите невырожденное линейное преобразование переменных, приводящее к этому виду ( ввиду неоднозначности искомого линейного преобразования ответ может получиться отличным от приведенного):

§ 6.2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

методом Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы

В отличии от рассмотренного в предыдущем параграфе метода Лагранжа, где канонический базис квадратичной формы вычислялся за несколько шагов, в методе Якоби векторы , непосредственно выражаются через исходный базис. Суть метода Якоби заключается в следующем.

Пусть в базисе мерного действительного линейного пространства квадратичная форма имеет вид

,

где , и определители

,

отличны от нуля. Тогда в базисе

квадратичная форма записывается в виде суммы квадратов :

,

где - координаты вектора в базисе .

Для того чтобы найти коэффициенты в выражении для , необходимо решить неоднородную систему линейных уравнений вида

Известно, что задача нахождения канонического базиса квадратичной формы решается неоднозначно. Тем не менее можно утверждать, что число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в любом каноническом представлении данной квадратичной формы всегда одно и то же (в этом состоит закон инерции квадратичных форм).

Квадратичную форму называют положительно (отрицательно) определённой, если для любого вектора .

Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определённой квадратичной форме , и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.

Справедлив следующий признак положительной определённости квадратичной формы (критерий Сильвестра) : для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все последовательные угловые миноры , определённые соотношением , были положительными.

Квадратичную форму, принимающую как положительные, так и отрицательные значения, называют знакопеременной.

Пример 1. Методом Якоби приведите к каноническому виду квадратичную форму и укажите канонический базис этой квадратичной формы.

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы и вычислим угловые миноры по формуле :

;

В базисе , , квадратичная форма имеет канонический вид:

Найдём канонический базис последовательно применяя соотношение для :

;

Составив матрицу перехода от базиса к базису ,

,

нетрудно убедится в том, что .

Пример 2.Найдите все значения при которых положительно определена квадратичная форма .

Решение. Воспользуемся критерием Сильвестра. Запишем матрицу квадратичной формы

и проверим, при каких все угловые миноры этой матрицы будут положительными:

Следовательно, не существуют значения , при которых данная квадратичная форма положительно определена.

6.2.1. Методом Якоби приведите следующие квадратичные формы к каноническому виду и укажите канонические базисы квадратичных форм :

;

6.2.2. Найдите все значения , при которых положительно определены квадратичные формы:

6.2.3. Докажите, что если квадратичная форма с матрицей положительно определена, то и квадратичная форма с матрицей положительно определена.

6.2.4. Докажите, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда форма положительно определена.

6.2.5. Найдите все значения , при которых отрицательно определены квадратичные формы: