26. Операции над нечеткими множествами

Нечеткое множество – совокупность элементов, про которые нельзя с полной уверенностью утверждать, что они принадлежат данному множеству.

Х – универсальное множество, хХ

А – нечеткое множество, множество пар. вида: <х, , где хХ

- функция принадлежности

Способы задания А:

1) перечисление элементов и функций принадлежности

Функции принадлежности: 1. треугольная; 2. Трапецевидная; 3. Сигмоидная (S-образная , Z- образная)

Операции над нечеткими множествами:

1) A=B; =,

2) AB; ,

27. Понятия нечеткой и лингвистической переменной

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой , где

- наимен.нечетк.перем.

X – ОДЗ нечетк.перем. (универсум)

А – нечеткое множество

,

функция Ма(x) задает степень принадлежности данного элемента к множеству А.

Параметр A может быть задан различными способами: табличным, графическим, аналитическим.

Пример:

а = "Высокий рост";

X - множество натуральных чисел N;

A = {150/0 + 160/0.1 + 170/ 0.2 + 180/0.5 + 190/0.7 + 200/0.9 + 210/1}

Лингвистическая переменная — в теории нечетких множеств, переменная, которая может принимать значения фраз из естественного или искусственного языка.

ЛП называется набор , где

- наимен лингвистической перем.

- терм (множество имен лингвистических значений переменной x, каждое из которых является нечетким множеством на множестве X),

Х – универсум; G – синтакс. процедура описания процесса формирования из множества T новых значений переменной ;M – семантическая процедура.

Пример: Рассмотрим лингвистическую переменную, описывающую возраст человека, тогда:

x: "возраст";

X: множество целых чисел из интервала [1, 120];

T(X): значения "молодой", "зрелый", "старый";

G: "очень", "не очень". Такие добавки позволяют образовывать новые значения: "очень молодой", "не очень старый" и пр.

M: математическое правило, определяющее вид функции принадлежности для каждого значения из множества T.

28. Основные понятия нечеткой логики. Нечеткие высказывания и предикаты. Нечеткие логические операции.

Нечеткое высказывание – повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить о ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности.

Ян Лукасевич

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

1. Высказывание < есть '>, где  - наименование лингвистической переменной, ' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х. Например высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" придается значение "большое", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее данному значению "большое" нечеткое множество.

2. Высказывание < есть m'>, где m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др. Например: <давление очень большое>, <скорость много больше средней> и др.

3. Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ". То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами. Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А₁, А₂, А₃, соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя", "большая". В этом случае высказыванию <толщина изделия очень малая> соответствует нечеткое множество CONA = A²; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое множество А₂; высказыванию <толщина изделия не малая и не большая> А₁. Высказывания <толщина изделия много больше средней> или <толщина изделия близка к средней> требуют использования нечетких отношений R ("много больше,чем") и R ("близко к"), заданных на ХХ. Тогда этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества AR₁ и AR₂, индуцированные нечеткими отношениями R₁ и R₂.

Нечеткие высказывания и операции над ними:

1. Нечеткое высказывание ~A - предложение, относительно которого можно судить о степени его истинности или ложности в настоящее время. Степень истинности или ложности d () принимает значения из [0 ; 1], где 0, 1 - предельные значения степени истинности и совпадают с понятиями "лжи" и "истины" для четких высказываний.

Нечеткое высказывание со степенью истинности 0,5 называется индифферентностью, поскольку оно истинно в той же мере, что и ложно.

Пример "2 - маленькое число" . нечеткое высказывание, степень истинности которого d () =0,9.

"Петров занимается большой общественной работой" . нечеткое высказывание со степенью истинности d() =0,3.

2. Отрицанием нечеткого высказывания является, степень истинности которого определяется выражением d()= 1 - d() . Из этого определения следует, что степень ложностисовпадает со степенью истинности для..

3. Конъюнкцией нечетких высказываний и, называется нечеткое высказывание&, степень истинности которого совпадает со степенью истинности менее истинного высказывания. D(&)=min(d();d()).

4. Дизъюнкцией нечетких высказываний и, называется нечеткое высказывание, степень истинности которого совпадает со степенью истинности более истинного высказывания. d()=max(d();d()).

5. Импликацией нечетких высказываний и, называется нечеткое высказывание, степень истинности которого d()=max(1 - d(),d()). Истинность импликации не меньше чем степень ложности ее посылки или степень истинности ее следствия.

Пример . Пусть нечеткое высказывание имеет степень истинности d()=0,3; нечеткое высказывание- d()=0,6. Импликация этих высказыванийбудет иметь степень истинности

d()=max(0,7; 0,6)=0,7.

Степень импликации тем выше, чем меньше степень истинности посылки или больше степень истинности следствия.

6. Эквивалентностью нечетких высказываний и, называется нечеткое высказывание.

d()=min(max(1 - d(),d()), max(1 - d(),d())).

Истинность эквивалентности совпадает со степенью истинности менее истинной из импликаций и.

Если степень истинности высказываний 0 или 1, то все определения соответствуют логическим операциям над четкими высказываниями.

7. Два высказывания А ~ и В~ называются нечетко близкими, если степень истинности больше или равна 0,5. В последнем случае будем называтьивзаимно нечетко индифферентными.

Порядок выполнения операций над нечеткими высказываниями: скобки, отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

28. Нечеткие продукционные системы. Синтаксис и семантика.

Важнейшим классом ИИС являются нечеткие системы - системы, для описания структуры и/или параметров которых используются аппарат теории нечетких множеств и нечеткая логика. В этом классе можно выделить системы, построенные на «если-то» правилах, которые в дальнейшем будем называть нечеткими продукционными системами (НПС). Особенностью этих систем является то, что для описания поведенческих характеристик моделируемой системы используется лингвистическая аппроксимация, основанная на знаниях экспертов - высококвалифицированных специалистов предметной области. На вычислительном уровне НПС можно рассматривать как гибкую математическую структуру, которая способна аппроксимировать сложные (в том числе нелинейные) системы с высокой степенью точности. По сравнению с другими способами аппроксимации, такими как нейронные сети, НПС обеспечивает прозрачное. представление за счет использования естественного языка в форме продукционных правил с соответствующими механизмами (методами) нечеткого логического вывода. Являясь универсальным аппроксиматором, НПС входит в состав многих прикладных экспертных систем _ управления, прогнозирования, диагностики, принятия решения и др. Системы управления со встроенной НПС называются нечеткими системами управления.

(i): Q, P, AB; S, F, N

i – имя нечеткой продукции

Q – сфера применимости нечеткой продукции

P – условия применимости ядра нечеткой продукции

AB – ядро нечеткой продукции (если А, то B)

A и B – выражения нечетких высказываний

A - антецедент

B - консиквент

S – метод определения количественного значения степени истинности заключения на основе степени истинности условия А

F – коэффициент уверенности [0;1] выражает количественную оценку степени истинности нечетких продукций.

A, AB, T(A), T(AB)

T(B)

Продукционная модель позволяет представить знания в виде продукционных правил, т.е. предложений типа: ЕСЛИ <перечень условий>, ТО <перечень действий >.

«Условие» - это образное предложение, по которому идет поиск в базе знаний, а «действие» - это операция, выполняемая при успешном результате поиска.

Продукционное правило в общем случае представляется в виде: i : S; C; A → B; P, где i - номер продукции; S - описание класса ситуаций, в котором эта структура может использоваться; С – условие, при котором данная продукция активизируется; А→В – ядро продукции (например, «ЕСЛИ А₁,А₂,…,А_n, ТО В»); Р – постусловие продукционного правила, определяющее действия, которые необходимо произвести после выполнения В.

Модели представления нечетких знаний используются для формализации человеческих знаний, описывающих качественные характеристики (например, большой, сильный, очень сильный, высокий и т.п.) объектов предметной области, которые могут интерпретироваться неоднозначно, но содержат важную информацию.

Теоретической основой данного представления являются нечеткая (fuzzy) алгебра, нечеткая логика и теория нечетких множеств. Одним из основных понятий в нечеткой логике является понятие лингвистической переменной (ЛП), которая определяется как переменная, значения которой описываются набором словесных (вербальных) характеристик некоторого свойства. Например, лингвистическая переменная «цена продукции» может определяться набором значений {очень высокая, высокая, средняя, низкая, очень низкая}. Совокупность значений (названий) лингвистической переменной образует так называемое терм-множество, а исходная переменная называется базовой. Различным термам могут соответствовать различные значения базовой переменной. Значения ЛП определяются через нечеткие множества, которые, в свою очередь, определены на базовой числовой шкале, имеющей размерность.

Для интерпретации, например, лингвистической переменной «возраст» можно использовать нечеткие множества «Детский», «Юный», «Молодой», «Зрелый», «Старый» и базовую шкалу в диапазоне от 0 до 120 лет. Функция принадлежности будет определять степень соответствия данного количества лет с данной категорией возраста.