Свойства

Функция четная

,

периодическая

,

период .

Из (2.53) с учетом интегрального фильтрующего свойства (2.5) дельта-функции

получаем

. (2.55)

Фурье-образ

Для периодической функции с периодомL Фурье-образ выражается через коэффициенты Фурье согласно (1.47) и (1.49)

,

.

Для гребенчатой функции с периодом получаем коэффициентыФурье

,

где учтено (2.53)

и фильтрующее свойство дельта-функции.

Находим Фурье-образ

. (2.56)

Фурье-образом гребенчатой функции является гребенчатая функция.

По теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента с учетом (2.56) получаем

. (2.59)

Увеличение периода гребенчатой функции уменьшает период спектра и увеличивает его амплитуду.

Ряд Фурье

Для периодической функции выполняется (1.48)

.

Для учитываеми используем формулу Эйлера

,

получаем

. (2.57)

Формула суммирования Пуассона

(2.60)

Сумма значений функции в целочисленных точках равна сумме значений ее спектра в целочисленных точках, если ряды существуют.

Доказательство

Выражение (2.57)

подставляем в интеграл

.

Получаем

,

где учтено фильтрующее свойство дельта-функции, переставлены суммирование и интегрирование и использована формула преобразования Фурье (1.1).

Обобщенная формула суммирования Пуассона

, (2.61)

где a и b – произвольные вещественные числа.

Доказательство

Выражение (2.57)

подставляем в интеграл

.

Получаем левую и правую части (2.61)

,

.

Обратную формулу суммирования

(2.61а)

доказать самостоятельно.

Произведение гребенчатой и гладкой функций

В подставляем (2.54)

,

и используем фильтрующее свойство дельта-функции (2.3)

.

Получаем

. (2.67)

Произведение гребенчатой функции с периодом a и гладкой функций дает модулированную гребенчатую функцию.

Фурье-образ

В формулу (1.1) подставляем (2.67)

и используем фильтрующее свойство дельта-функции

. (2.68)

В формуле суммирования Пуассона (2.61а)

заменяем ,

. (2.61б)

Сравнение правых сторон (2.68) и (2.61б) дает

. (2.68)

Произведение гребенчатой функции с периодом a и гладкой функции имеет спектр в виде бесконечной суммы спектров гладкой функции, сдвинутых на целое число шагов .

Для ограниченно определенной функции со спектром, имеющим ширину, меньшую, спектрявляется периодическим повторением спектрас периодом, как показано на рисунке.

Если спектр имеет протяженность, превышающую, тогда в спектревозникают наложения разных участковдруг на друга.

Свертка гребенчатой и ограниченно определенной функций

Пусть определена на интервалеширинойa, тогда свертка с гребенчатой функцией, имеющей период a:

, (2.69)

дает повторения с периодомa.

Если в качестве аппаратной функции преобразователя использовать гребенчатую функцию, то, подавая на вход ограниченно-определенный сигнал, получаем на выходе периодическое повторение этого сигнала.

Доказательство

В левую сторону (2.69) подставляем (2.54)

,

используем (2.14)

,

и получаем правую сторону (2.69).